Вправи: 227

227. На продовженнях сторін AB, BC, AC рівностороннього трикутника ABC (рис. 164) за точки А, В і C відповідно відклали рівні від-різки AD, BK і CE. Доведіть, що трикутник DEK рівносторонній.

Дано: ΔABC — рівносторонній,

E ∈ AC,

K ∈ CB, D ∈ AB, DA = CE = BK.

Довести: ΔDKE — рівносторонній.

Доведення:

1) За умовою ΔABC — рівносторонній.

∠1 = ∠3 = ∠5 = 60; AB = BC = AC;

∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4, ∠5 і ∠6 — суміжні.

За теоремою про суміжні кути маємо

∠2 = ∠4 = ∠6 = 180° – 60° = 120°.

2) За умовою AD = BK = CE.

3) За аксіомою вимірювання відрізків маємо AE = CK = BD.

ΔDAE = ΔECK = ΔKBD (за І ознакою рівності трикутників).

DE = DK = KE (як рівність відповідних елементів рівних фігур).

Тому ΔDKE — рівносторонній. Доведено.