Вправи: 192

192. На одній стороні кута з вершиною в точці O (рис. 151)

позначено точки А і В, а на другій — точки C і D так, що OA = ОС,

AB = CD. Доведіть, що промінь OM є бісектрисою кута BOD, де M — точка перетину відрізків AD і BC.

Доведення: Розглянемо ΔOBC і ΔODA.

1) OC = OA (за умовою); 2) OB = OA + AB, OD = OC + CD, т. я.

OA = OC і AB = CD, то OB = OD; 3) ∠O — спільний.

Отже, ΔOBC = ΔODA за І ознакою.

Розглянемо ΔAMB і ΔCMD.

1) AB = CD (за умовою); 2) ∠ABM = ∠CDM (т. я. ΔOBC = ΔODA);

3) ∠BAM = ∠DCM (як суміжні з рівними кутами ∠OAM = ∠OCM, т. я.

ΔOBC = ΔODA).

Отже, ΔAMB = ΔCMD за II ознакою.

Розглянемо ΔAOM і ΔСОМ.

1) OA = OC (за умовою);

2) ∠OAM = ∠OCM (т. я. ΔOBC = ΔODA);

3) AM = CM (т. я. ΔAMB = ΔCMD).

Отже, ΔAOM = ΔСОМ за І ознакою, з цього випливає, що ∠AOM =

= ∠COM.

Це означає, що OM є бісектрисою ∠BOD.