Вправи: 614

614. Доведіть, що вираз n4 + 3n3 - n2 - Зn ділиться на 6 за будь-якого натурального значення n.

n⁴ + Зn³ – n² – Зn = (n⁴ – n²) + (Зn³ – Зn) = n²(n² – 1) + 3n(n² – 1) = (n² – 1)(n² + Зn) = (n – 1)(n + 1) • n(n + 3).

Числа n – 1, n і n + 1 — це три послідовних натуральних числа. Серед них обов’язково є парне число і число, кратне 3, їх добуток ділиться на 6. Тоді і весь добуток ділиться на 6.