Вправи: 483

483. Деяке натуральне число при діленні на 5 дає в остачі 1, а інше

натуральне число при діленні на 5 дає в остачі 2. Доведіть, що сума квадратів цих чисел ділиться на 5.

Дані числа подамо, відповідно, у вигляді 5а + 1 і 5b + 2.

Тоді (5а + 1)² + (5b + 2)² = 25а² + 10а + 1 + 25b² + 20b + 4 = 25а² + 25b² + 10а + 20b + 5 = 5(5а² + 5b² + 2а + 4b + 1) — число, кратне 5.