Вправи: 1186

1186. Розв’яжіть рівняння:

1) (х + у)² + (х – 3)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x + y = 0, 3 + y = 0, y = –3,

x – 3 = 0; x = 3; x = 3.

Відповідь: (3; –3);

2) (х + 2y – З)² + х² – 4ху + 4у² = 0; (х + 2y – З)² + (х – 2у)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю.

Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x + 2y – 3 = 0,

x – 2y = 0.

Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2х – 3 = 0; х = 1,5. Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1,5 й одержимо: 1,5 – 2y = 0; 2y = 1,5; y = 0,75. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (1,5; 0,75).

Відповідь: (1,5; 0,75);

3) |х – Зу – 6| + (9х + 6у – 32)² = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

|x – 3y – 6| = 0, x – 3y – 6 = 0|∙2, 2x – 6y – 12 = 0,

(9x + 6y – 32)² = 0; 9x + 6y – 32 = 0; 9x + 6y – 32 = 0.

Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х – 44 = 0; х = 4. Підставимо у перше рівняння другої системи значення х = 4 й одержимо: 4 – Зу – 6 = 0; –3у = 2; y = –23. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (4; –23).

Відповідь: (4; –23);

4) х² + y² + 10х – 12у + 61 = 0; (х² + 10х + 25) + (y² – 12у + 36 = 0; (х + 5)² + (у – 6)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

x + 5 = 0, x = –5,

y – 6 = 0; y = 6.

Розв язком системи і рівняння є пара чисел (–5; 6).

Відповідь: (–5; 6);

5) 25х² + 10у² – 30ху + 8y + 16=0;

(25х² – 30ху+ 9у²) + (у² + 8y + 16) = 0;

(5х – Зу)² + (у + 4)² = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:

5x – 3y = 0, 5x + 12 = 0, x = –2,4,

y + 4 = 0; y = –4; y = –4.

Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (–2,4; –4).

Відповідь: (–2,4; –4).