Задачі підвищеної складності: 51

51. Яна загадала два двоцифрових числа, кожне з яких починається цифрою 6, причому інші цифри кожного із чисел відмінні від числа 6. Якщо переставити місцями цифри в кожному із загаданих чисел, то значення їх добутку не зміниться. Які числа загадала Яна?

Нехай Яна загадала два двоцифрових числа: 6х і 6у. Маємо:

6х ∙ 6у = х6 ∙ у6; (60 + х)(60 + у) = (10х + 6)(10у + 6); 3600 + 60у + 60х + ху = 100xy + 60х + 60у + 36; 60у + 60х + ху – 100xy – 60х – 60у = 36 – 3600; 99ху = 3564; ху = 36. Останню рівність можуть задовольняти числа: х = 9 і у = 4 або х = 4 і у = 9. Отже, шукані числа: 69 і 64.

Відповідь: 69 і 64.