Вправи: 665

665. Числа a, b і c такі, що a² + b² + c² − ab − ac − bc = 0. Чому дорівнює значення виразу a + b – 2c?

Якщо а² + b² + с² – аb – ас – bс = 0, то 2(а² + b² + с² – аb – ас – bс) = 0. Маємо: 2(а² + b² + с² – аb – ас – bс) = (а² – 2аb + b²) + (а² – 2ас + с²) + (b² – 2bс + с²) = (а – b)² + (а – с)² + (b – с)² = 0.

Рівність (а – b)2 + (а – с)2 + (b – с)2 = 0 виконується лише тоді, коли а = b = с. Отже, а + b – 2с = а + а – 2а = 0.

Відповідь, а + b – 2с = 0.