Вправи: 615

615. Доведіть, що сума квадратів п’яти послідовних натуральних

чисел не може дорівнювати квадрату натурального числа.

Нехай «середнє» число дорівнює n, тоді всі зазначені чисел дорівнюють n – 2; n – 1; n; n + 1; n + 2. Тоді сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел дорівнює: (n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = n² – 4n + 4 + n² – 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 5n² + 10 = 5(n² + 2). Запис числа n² не може закінчуватися цифрами 3 або 8, тому запис числа n² + 2 не може закінчуватися цифрами 5 або 0. Отже, число n² + 2 не ділиться на 5, а число 5(n² + 2) ділиться на 5, тому число 5(n² + 2) не може дорівнювати квадрату натурального числа.