Вправи: 887

887. Розв’яжіть рівняння в цілих числах (тобто знайдіть усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння):

б) Зх + 2y = 10; 2y = 10- Зх; у = 5 - 32х; y = 5 - 1,5х; y = 5 - 2х +

+ 12х.

Нехай для деяких цілих значень змінних остання рівність є правильною, оскільки у та 5 - 2х — цілі числа, то 12х також має бути цілою.

Отже, х має ділитися на 2, звідки х = 2k, k — деяке ціле число. Підставимо х = 2k (k — деяке ціле число) у формулу для змінної у, матимемо: у = 5 - 2 • 2k + 12 • 2k = 5 - 4k + k = 5 - 3k.

Якщо х = 2k, у = 5 - 3k, то рівняння перетвориться:

З • 2k + 2(5 - 3k) = 6k + 10 - 6k = 10, 10 = 10. .

Отже, розв’язками рівняння 3x + 2у = 10 є пари цілих чисел.

х = 2k, у = 5 - 3k, k — довільне ціле число.

Наприклад: k = 0; x = 0; y = 5; (0; 5). k = 1; х = 2; у = 2; (2; 2).

Відповідь: x = 2k; t = 5 - 3k; (0; 5), (2; 2).

в) -4x + 9y = 6; 4x = 9y - 6; x = 94y - 64; x = 214y - 32; x = 2y + 14y - 1 -

- 12; x = 2y - 1 + (14y - 12); x = 2y - 1 + 14(y - 2).

Нехай для деяких цілих значень остання рівність є правильною. Оскільки х та 2y - 1 — цілі числа, то 14(у - 2) також має бути цілим числом. Отже, у - 2 має ділитися на 4, звідки у - 2 = 4k, y = 4k + 2, k — деяке число. Підставимо у = 4k + 2 в формулу

х = 2 • (4k + 2) - 1 + 14 • 4k = 8k + 4 - 1 + k = 9k + 3.

Якщо x = 9k + 3, y = 4k + 2, то рівняння -4х + 9y = 6 перетворюється у правильну числову ревність:

-4 • (9k + 3) + 9(4k + 2) = -36k - 12 + 36k + 18 = 6; 6 = 6.

Отже, розв’язанням рівняння -4x + 9у = 6 є пари чисел:

x = 9k + 3, у = 4k + 2, k — довільне ціле число.

Надаючи k у формулах х та у різних цілих значень, одержимо різні

цілі розв’язки рівняння. Наприклад: k = 0, то х = 3, у = 2; k = 1, то х = 12, у = 6.