Вправи: 643-644

643. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непарним числом.

Нехай х і (х + 1) — два послідовних числа,

тоді x² - (х + 1)² = x² - x² - 2х - 1 = -(2х + 1) — непарне число.

644. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

Нехай 2k + 1 і 2k + 3 — два послідовних непарних числа,

тоді (2k + 1)² - (2k + З)² = (2k + 1 - 2k - 3)(2k + 1 + 2k + 3) = -2 •

• (4k + 4) = -8(k + 1) ⋮ 8, бо -8 : 8 = -1.

645*. Доведіть, що значення виразу ділиться на 226.

15¹⁰ - 15³ + 15¹² - 211³ = 15¹⁰ • (1 + 15²) - (15³ + 211³) =

= 15¹⁰ • 226 - (15 + 221) • (15² - 15 • 211 + 211²) = 226 • (15¹⁰ -

- 15² + 15 • 221 - 211²) ⋮ 226, бо 226 : 226 = 1.

646*. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 3.

Якщо ціле число не ділиться на 3, то остача 1 або 2, тобто m = 3k +

+ 1 або n = 3k + 2 — два цілих числа, які не діляться націло на 3.

(3k + 1)² - (3k + 2)² = 9k² + 6k + 1 - 9k² - 12k - 4 = -6k - 3 =-3(2k +

+ 1) ⋮ З, бо 3 : 3 = 1.

647*. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:

а) x² - 4x + 4 + у⁴ - 2у² + 1 + 2 = 0; (x - 2)² + (у² - 1)² + 2 = 0. He існує чисел х і у, для яких виконувалась б дана рівність, бо (х - 2)² ≥ ≥ 0, (у - 1)² ≥ 0, 2 > 0, тому їх сума не дорівнює нулю.

1. Виконайте множення (a – х)(a + х) та вкажіть правильну Відповідь:

(а - х)(а + х) = а² - х². Г.

2. Піднесіть до квадрата (b – 4)² та вкажіть правильну Відповідь:

(b - 4)² = b² - 8b + 16. В.

3. Розкладіть на множники многочлен у² – 9 та вкажіть правильну Відповідь:

y² - 9 = (у - 3)(у + 3). В.

4. Обчисліть 85² – 15² та вкажіть правильну Відповідь:

85² - 15² = (85 - 15) • (85 + 15) = 70 • 100 = 7000. В.

5. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну Відповідь:

х² + 4х + 4 = (х + 2)². Г.

6. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена та вкажіть

правильну Відповідь:

а² - 10а + 25 = (а - 5)². Б.

7. Спростіть вираз та знайдіть його значення

9 - а² + 1 - 2а + а² = -2а + 10, якщо а = 0,5, то -2 • 0,5 + 10 =

= -1 + 10 = 9.

8. Піднесіть до квадрата:

а) 16 + 24b + 9b²; б) 4а² - 20а + 25.

9. Розв’яжіть рівняння:

а) x² - 4x + 4 - x² = 12; -4x = 8; х = -2;

б) x² - 9 - x² = Зx; Зx = -9; х = -3.

10. Розкладіть на множники:

а) (3у - 4)(3у + 4); б) 3(x² - у²) = 3(х - у)(х + у);

в) (За - b)(9а² + Заb + b²).

11. Подайте у вигляді квадрата двочлена:

а) (За + 2)²; б) (10а - b)².

12. Спростіть вираз:

а) 4x² - 28ху + 49у² + 4х² + 28ху + 49у² - 8х² = 98у²;

б) 4 - 9b⁴ + 9b⁴ - 6b² + 1 = -6b² + 5.

13. Доведіть тотожність

(а² - 1)(а² + 1) - а⁴ + 2а² - 1 - 2а² = -2; а⁴ - 1 - а⁴ - 1 =-2;

-2 = -2.

Тотожність доведено.

14. Розкладіть на множники:

a) (b³ - 2b²)(b³ + 2b²); б) (0,1а - 3b)(0,01a² + 0,Заb + 9b²);

в) 0,4а²(2а + 1 + а²) = 0,4а²(а + 1)².

15. Доведіть, що вираз набуває лише від’ємних значень.

-(х² - 10x + 27) = -(х - 5)² - 2 < 0. Даний вираз набуває від’ємних значень.

16. Розв’яжіть рівняння:

а) -4х² - 12х - 9 + 2х² + 5х + 10x + 25 = 16; -2х² + Зх = 0;

-х(2х - 3) = 0; х = 0 або х = 1,5;

б) x² - 2х + 1 - 36 = 0; (х - 1)² - 6² = 0; (х - 1 - 6)(х - 1 + 6) = 0;

(х - 7)(х + 5) = 0; х = 7 або х = -5.

17. Спростіть вираз:

а) (х² - 4у⁴)² - 16у⁸ = (х² - 4у⁴ - 4у⁴)(х² - 4у⁴ + 4у⁴) = (х² - 8y⁴) • х²;

б) (а + 1)(а² - а + 1)(а - 1)(a² + а + 1) = (а³ - 1)(а³ + 1) = а⁶ - 1.

18. Розкладіть на множники:

а) (m - n)(m² + mn + n²) + 3 (m² + mn + n²) = (m² + mn + n²)(m - n + 3);

б) (a² + b² + с² + 2аb + 2bc + 2ас) - х² = (а + b + с)² - х² =

= (а + b + с - х)(а + b + c + х).

19. Розв’яжіть рівняння:

а) (х⁴ - 1)(x⁴ + 1) = x⁸ + 4х; х⁸ - 1 = х⁸ + 4х; 4х = -1;

х = -0,25;

б) x³ - 9 - х + 9х² = 0; х(х² - 1) + 9(х² - 1) = 0; (х² - 1)(х + 9) = 0;

(х - 1)(х + 1)(х + 9) = 0; х = 1, або х = -1, або х = -9.

20. При діленні на 5 число n дає в остачі 3, а число m — 4. Доведіть, що число n² + m² ділиться на 5.

n = 5k + 3, n = 5l + 4. n² + m² = 25k² + 30k + 9 + 25l² + 40l + 16 = (25k² + 30k + 25l² + 40l + 25) ⋮ 5, бо кожен доданок націло ділиться на 5, тому їх сума націло ділиться на 5, тоді (n² + m²) ⋮ 5.

21. Доведіть, що многочлен набуває лише невід’ємних значень.

(4х² - 4x + 1) + а² = (2х - 1)² + а² > 0, тому даний многочлен набуває лише невід’ємних значень.