Вправи: 1137

1137. Доведіть, що різниця четвертих степенів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 1, а друге — в остачі 2, кратна 5.

Нехай чіісла дорівнюють а = 5n + 1, b = 5m + 2.

а⁴ - b⁴ = (5n + 1)⁴ - (5m + 2)⁴ = ((5n + 1)² - (5m + 2)²)((5n + 1)² +

+ (5m + 2)²) = ((5n + 1)² - (5m + 2)²)(25n² + 10n + 1 + 25m² +

+20m + 4) = (5n - 5m - 1)(5n + 5m + 3) • 5(5n² + 2n + 5m² + 4m +

+ 1) ділиться на 5, отже, різниця четвертих степенів даних чисел кратна 5. Доведено.