§ 6
§ 6: 6.9
Готова відповідь до завдання 6.9 з ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк 2018 (Поглиблений).
Алгебра, 10 клас · § 6
Текстова відповідь
6.9 Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу
(x2 + x – 1)2n + (x2 – x + 1)2n – 2, де n ∈ N, ділиться націло на многочлен x2 – x.
A(x) = (x2 + х – 1)2n + (х2 – х – 1)2n – 2; В(х) = x2 – х.
Доведемо, що А(х) ⋮ В(х).
В(х) = x2 – х = х(х – 1). Оскільки А(0) = 0, то А(х) ⋮ х, тобто А(х) =
х • Q(x), де Q(x) – деякий многочлен. Оскільки A(1) = 0, а з іншого боку A(1) = Q(1), то Q(1) = 0 і Q(x) ⋮ (x – 1), тобто Q(x) = (х – 1) • Q1(x), де Q1(x) – деякий многочлен. Тоді маємо: А(х) = х(х – 1) • Q1(x). Тобто А(х) = В(х) • Q1(x) ⇒ А(х) ⋮ В(х) – доведено.