§ 15: 15.9-15.10

15.9 Розв’яжіть нерівність:

1) 2x-1x-2 < 1; ОДЗ: 2x – 1 ≥ 0, x ≥ 12,

x – 2 ≠ 0; x ≠ 2.

2x-1- x+2x-2 < 0 рівносильна:

1) 2х-1 – x + 2 < 0, 2х-1 < x – 2, звідки x >2,

x – 2 > 0; x > 2; x ≥ 12,

2x – 1 < x² – 4x + 4;

x > 2,

x² – 6x + 5 > 0;

Отже, х ∈ (5; +∞).

2) 2х-1 – х + 2 > 0, 2х-1 > x – 2, звідки x < 2, x < 2,

x – 2 < 0; x < 2; 2x – 1 ≥ 0; x ≥ 12;

x ∈ [12; 2)

Відповідь: (–5; +∞); [12; 2).

3) 8-2x- x2x+10 ≤ 8-2x- x22x+9; 8-2x- x2x+10 – 8-2x- x22x+9 ≤ 0;

8-2x- x2 (2x+9-x-10)x+10(2x+9) ≤ 0; 8-2x- x2 (x-1)x+10(2x+9) ≤ 0;

8-2x- x2(x – 1)(x + 10)(2x + 9) ≤ 0,

(x + 10)(2x + 9) ≠ 0,

8 – 2x – x² ≥ 0;

-x+4(x-2)(x – 1)(x + 10)(2x + 9) ≤ 0,

(x + 10)(2x + 9) ≠ 0,

–(x + 4)(x – 2) ≥ 0;

Отже, х ∈ [–4; 1].

15.10 Розв’яжіть нерівність:

1) (x + 1)x2+ 1 > x² – 1; (x + 1)x2+ 1 – (x² – 1) > 0;

(x + 1)x2+ 1 – x + 1) > 0, звідки:

1) x + 1 > 0, x > –1, тоді x > –1,

x2+ 1 – x + 1 > 0; x2+ 1 > x – 1; x – 1 ≥ 0,

x² + 1 > x² – 2x + 1;

x > –1, x > –1,

або x – 1 < 0, x ≥ 1, або x > –1,

x² + 1 > 0; 2x > 0; x < 1; x ≥ 1; x ∈ (–1; 1).

Отже, x ∈ (–1; +∞).

2) x + 1 < 0, x < –1, x < –1,

x2+ 1 – x + 1 < 0; x2+ 1 < x – 1; x² + 1 < x² – 2x + 1;

x < –1, x < –1,

2x < 0; x < 0; отже, x < –1, x ∈ (–∞; –1).

Маємо: x ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; +∞).

2) х+20х – 1 < 0. Нехай f(x) = х+20х –1. Тоді:

1. D(f): x + 20 ≥ 0, x ≥ –20, x ∈ [–20; 0) ∪ (0; +∞).

x ≠ 0; x ≠ 0;

2. Нулі функції: х+20х – 1 = 0; х+20х = 1; х+20 = х;

х + 20 = х²; х² – х – 20 = 0; х₁ = 5, х₂ = –4 – сторонній корінь.

3. Проміжки знакосталості f(x):

4. f(x) < 0, якщо х ∈ [–20; 0) ∪ (5; +∞).

Відповідь: [–20; 0) ∪ (5; +∞).

3) 12-х- х22x-7 ≤ 12-х- х2x-5; 12-х- х2(x-5-2x+72x-7(x-5)) ≤ 0; 12-х- х2 (2-x)2x-7(x-5) ≤ 0 ⇔

12 – x – x² ≥ 0; (4 + x)(3 – x) ≥ 0;

2-x2x-7(x-5) ≤ 2-x2x-7(x-5) ≤ 0;

12 – x – x² = 0; x = –4; x = 3;

x ∈ [–4; 3];

x = –4; 3;

x ∈ [–4; 3];

x ∈ [2; 3,5] x ∈ [2; 3];

x = –4; 3; x = –4,3 ⇒ x ∈ {–4} ∪ [2; 3]

Відповідь: x ∈ {–4} ∪ [2; 3]