§ 15: 15.11 (1)

15.11 Розв’яжіть нерівність:

1) 3х – х+3 > 1; 3x – x+3 – 1 > 0. Нехай f(x) = 3x – x+3 – 1.

Тоді: 1. D(f): x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0.

x + 3 ≥ 0; x ≥ – 3;

2. Нулі функції: 3x – x+3 – 1 = 0; 3x = 1 + x+3;

9x = 1 + 2x+3 + x + 3; 2x+3 = 8x – 4; x+3 = 4x – 2;

x + 3 = 16x² – 16x + 4; 16x² – 17x + 1 = 0; x₁ = 1, x₂ = 116 – сторонній корінь.

3. Проміжки знакосталості f(x):

4. f(x) > 0, якщо х ∈ (1; +∞).

Відповідь: (1; +∞).

2) x+3 < x-1 + x-2; x-1 + x-2 – x+3 > 0.

Нехай f(x) = x-1 + x-2 – x+3.

x – 1 ≥ 0, x ≥ 1,

1. D(f(x)): x – 2 ≥ 0, x ≥ 2, отже, x ≥ 2.

x + 3 ≥ 0; x ≥ –3;

2. Нулі функції f(x): x-1 + x-2 – x+3 = 0;

x-1 + x-2 = x+3; x – 1 + 2x-1(x-2) + x – 2 = x + 3; 2x-1(x-2) = 6 – x;

4(x² – 3x + 2) = 36 – 12x + x²; 4x² – 12x + 8 – 36 + 12x – x² = 0;

3x² = 28;

x² = 283; x₁ = 273, x₂ = –73 < 2.

3. Проміжки знакосталості f(x):

Отже, f(x) > 0, якщо х ∈ (273; +∞).