§ 15: 15.12 (1)

15.12 Розв’яжіть нерівність:

1) x-6 – x+10 ≤ 1; x-6 – x+10 – 1 ≤ 0.

Нехай f(x) = x-6 – x+10 – 1. Тоді:

1. D(f(x)): x – 6 ≥ 0, x ≥ 6, x ≥ 6.

x + 10 ≥ 0; x ≥ – 10;

2. Нулі функції: x-6 – x+10 – 1 = 0; x-6 = 1 + x+10;

x – 6 = 1 + 2x+10 + x + 10; 2x+10 = –17, що неможливо, отже, f(x) нулів не має, отже, зберігає один знак.

Оскільки х ≥ 6, то х – 6 < x + 10, отже, х-6 < x+10, x-6 –

– x+10 < 0, а отже, х-6 – х+10 ≤ 1 для х ∈ [6; +∞).

Відповідь: [6; +∞).

2) 2x + 5-x > x+21; 2x + 5-x – x+21 > 0.

Нехай f(x) = 2x + 5-x – x+21, тоді:

x ≥ 0, x ≥ 0,

1. D(f): 5 – x ≥ 0, x ≤ 5, x ∈ [0; 5].

x + 21 ≥ 0; x ≥–21;

2. Нулі f(x): 2x + 5-x – x+21 = 0; 2x = x+21 – 5-x;

4x = x + 21 – 2x+21(5-x) + 5 – x;

2x+21(5-x) = 26 – 4x; x+21(5-x) = 13 – 2x;

(x + 21)(5 – x) = 169 – 52x + 4x²;

5x – x² + 105 – 21x = 169 – 52x + 4x²;

5x² – 36x + 64 = 0; x₁ = 4, x₂ = 3,2.

3. Проміжки знакосталості f(x):

4. f(x) > 0 для х ∈ (3,2; 4).

Відповідь: (3,2; 4).