§ 15: 15.5-15.6

15.5 Розв’яжіть нерівність:

1) x + 1 < 0;

x + 7 ≥ 0;

x+7 ≥ x + 1 ⇔

x + 1 ≥ 0;

x + 7 ≥ (x + 1)²;

x < – 1;

x ≥ –7; x ∈ [–7; –1]; x ∈ [–7; –1];

x ≥ –1; x ≥ –1; x ≥ –1;

x + 7 ≥ x² + 2x + 1; x² + x – 6 ≤ 0; (x + 3)(x – 2) ≤ 0;

x ∈ [–7; –1];

x ≥ –1; x ∈ [–7; –1]; ⇒ x ∈ [–7; 2];

x ∈ [–3; 2]; x ∈ [–1; 2];

Відповідь: x ∈ [–7; 2].

2)

4 – x < 0; x > 4;

x² – 2x ≥ 0; x(x – 2) ≥ 0;

х2-2x ≥ 4 – x ⇔

4 – x ≥ 0; x ≤ 4;

x² – 2x ≥ (4 – x)²; x² – 2x ≥ 16 – 8x + x²;

x > 4; x ∈ (4; +∞); x ∈ (4; +∞);

x ∈ (–∞; 0] ∪ [2; +∞) x ≤ 4; x ∈ [83; 4] ⇒ x ∈ [83; +∞).

x ≤ 4; x ≥ 166;

6x ≥ 16;

Відповідь: x ∈ [83; +∞).

3)

x < 0; x < 0;

x² + x – 2 ≥ 0; (x + 2)(x – 1) ≥ 0;

х2+x-2 > x ⇔

x ≥ 0; x ≥ 0;

x² + x – 2 >x²; x > 2;

x < 0; x ∈ (–∞; –2];

x ∈ (–∞; – 2] ∪ [1; +∞); x > 2 ⇒ x ∈ (–∞; – 2] ∪ (2; +∞).

x > 2

Відповідь: x ∈ (–∞; – 2] ∪ (2; +∞).

4)

8 – 2x < 0;

–x² + 6x – 5 ≥ 0;

-x2+ 6x-5 > 8 – 2x ⇔

8 – 2x ≥ 0;

–x² + 6x – 5 > 64 – 32x + 4x²;

x > 4; x ≤ 4;

x² – 6x + 5 ≤ 0; (x – 5)(x – 1) ≤ 0;

x ≤ 4; x ≤ 4;

5x² – 38x + 69 < 0; 5(x – 3)(x – 4,6) < 0

x > 4;

x ∈ [1; 5]; x ∈ (4; 5];

x ≤ 4; x ∈ (3; 4] ⇒ x ∈ (3; 5].

x ∈ (3; 4,6);

Відповідь: x ∈ (3; 5].

15.6 Розв’яжіть нерівність:

x ≥ 0; x ≥ 0; x ≥ 0;

x + 2 > x²; x² – x – 2 < 0; (x – 2)(x + 1) < 0;

1) х+2 > x ⇔

x < 0; x < 0; x < 0;

x + 2 ≥ 0; x ≥ –2; x ≥ –2;

x ≥ 0;

x ∈ (–1; 2); x ∈ [0; 2);

x ∈ [–2; 0); x ∈ [–2; 0) ⇒ x ∈ [–2; 2).

Відповідь: х ∈ [–2; 2).

x + 3 < 0; x < –3;

2x + 14 ≥ 0; x ≥ – 7;

2) 2x+14 > x + 3

x + 3 ≥ 0; x ≥ – 3

2x + 14 > (x + 3)²; 2x + 14 > x² + 6x + 9;

x ∈ [–7; –3); x ∈ [–7; –3); x ∈ [–7; –3)

x ≥ –3; x ≥ –3; x ≥ –3;

x² + 4x – 5 < 0; (x + 5)(x – 1) < 0; x ∈ (–5; 1);

x ∈ [–7; –3);

x ∈ [–3; 1) ⇒ x ∈ [–7; 1).

Відповідь: x ∈ [–7; 1).

x + 1 < 0;

x² – 5x – 24 ≥ 0;

3) х2- 5х-24 ≥ х + 2 ⇔

x + 2 ≥ 0;

x² – 5x – 24 ≥ x² + 4x + 4;

x < –2; x < –2;

(x – 8)(x + 3) ≥ 0; x ∈ (–∞; –3] ∪ [8; +∞);

x ≥ – 2; x ≥ – 2;

9x ≤ –28; x ≤ –319;

x ∈ (–∞; –3];

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ (–∞; –3].

Відповідь: x ∈ (–∞; –3].

x – 3 < 0;

x² + 4x – 5 ≥ 0;

4) х2+ 4х-5 > x – 3 ⇔

x – 3 ≥ 0;

x² + 4x – 5 > (x – 3)²;

x < 3; x < 3;

(x + 5)(x – 1) ≥ 0; x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞);

x ≥ 3; x ≥ 3;

x² + 4x – 5 > x² –6x + 9; 10x > 14;

x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; 3);

x ≥ 3; x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +3);

x > 1,4; x ≥ 3; ⇒ x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞).

Відповідь: x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞).