§ 6: 6.8

6.8 Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу

(x + 1)²ⁿ – x²ⁿ – 2x – 1, де n ∈ N, ділиться націло на многочлен,

який тотожно дорівнює виразу x (x + 1) (2x + 1).

A(x) = (x + 1)²ⁿ – x²ⁿ – 2x + 1; B(x) = x(x + 1)(2x + 1).

Доведемо, що A(x) ⋮ B(x).

Оскільки А(0) = 0, то А(х) : х, тобто А(х) = х • Q(x), де Q(x) – деякий многочлен. Оскільки А(–1 ) = 0, а з іншого боку А(–1) =

–Q(–1), тo Q(–1) = 0 i Q(x) ⋮ (x + 1), тобто Q(x) = (x + 1) • Q₁(x). Тоді маємо: A(x) = x(x+ 1) • Q₁(x). Оскільки А(–12) = 0, а з іншого боку А(–12) = –12 • (–12 + 1) • Q₁(–12), то Q₁(–12) = 0 і Q₁(x) ⋮ (x + 12), тоді Q₁(x) ⋮ (2x + 1), тобто Q₁(x) = (2x + 1) • Q₂(x), де Q₂(x) – деякий многочлен. Тоді маємо: А(х) = х • (х + 1) • (2х + 1) • Q₂(x). Тобто А(х) = В(х) • Q₂(x) ⇒ А(х) ⋮ В(х) – доведено.