§ 6: 6.7

6.7 Доведіть, що (xⁿ − aⁿ) ⋮ (x^k − a^k), якщо n ⋮ k, n ∈ N, k ∈ N.

A(x) = xⁿ – aⁿ; B(x) = xk – ak; n ⋮ k, n ∈ N, k ∈ N. Довести, що A(x) ⋮ B(x). Якщо n ⋮ k, то n = l • k, де l ∈ N. Тoді А(х) = x^lk – a^lk = (x^k)^l –

(а^k)^l. Зробимо заміну: x^k = t, ^k = b. Маємо: А(t) = t^l – b^l, B(t) = t – b. A(t) ⋮ B(t), оскільки R(t) = А(b) = 0. Тоді якщо повернутися до старих змінних, то А(х) ⋮ B(х) – доведено.