§ 5: 5.20 (1)

5.20 Розв’яжіть нерівність:

1) (x² – 1)x2- 4 <0, (x – 1)(x + 1)x-2(x+2) < 0.

Значеная виразу x2- 4 існує, якщо x² – 4 ≥ 0, тобто для х ∈ (–∞; –2] U [2; +∞), але дана нерівність не передбачає рівність нулю, тому її розв’язки шукатимемо на множині (–∞; –2) U (2; +∞), де значення x2- 4 > 0, тоді знак даної нерівності залежатиме від знака виразу (х– 1)(х + 1). Щоб була виконана умова, потрібно розв’язати нерів– ність (х – 1)(x + 1) < 0, х ∈ (–1; 1). Знайдена множина не належить множині (–∞; –2) U (2; +∞), тому дана нерівність не має розв’язків.

Відповідь: нерівність не має розв’язків.

2) (x² – 1)x2- 4 > 0. Маємо x2- 4 > 0, якщо х ∈ (–∞; –2) U (2; +∞) – знак даної нерівності залежить від знака виразу х² – 1, тому х² – 1 > 0, (x – 1)(x + 1) > 0, якщо х ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞). Перетином двох множин є множина х ∈ (–∞; – 2) ∪ (2; +∞).

Відповідь: х ∈ (–∞; –2) U (2; +∞).

3) (х² – 1)x2- 4 ≤ 0, розв’язком є х = ±2.

Відповідь: х = ±2.

4) (х² – 1)x2- 4 ≥ 0, розв’язком є множина (–∞; –2] U [2; +∞).

Відповідь: х ∈ (–∞; –2] U [2; +∞).

5) (х² – 5х + 4)x2- 7x+10 < 0. Знак виразу

x2- 7x+10 додатний на множині

M = (–∞; 2) U (5; +∞), тому дана нерівність

виконується, якщо (х² – 5х + 4) < 0 на множині

M. Отже, (х – 4)(х – 1) < 0; х ∈ (1; 4). Знайдемо

перетин множин M і M₁ = (1; 4), х ∈ (1; 2).

Відповідь: х ∈ (1; 2).

6) (х² – 5х + 4)x2- 7x+10 > 0. Знак виразу x2- 7x+10 додатний, якщо х ∈ (–∞; 2) U (5; +∞).

Дана нерівність виконується на цій множині за умови (х² – 5х + 4) >

> 0, (х – 1)(x – 4) > 0, якщо х ∈ (–∞; 1) U (4; +∞).

Знайдемо перетин множин: х ∈ (–∞; 1) U (5; +∞).

Відповідь: х ∈ (∞; 1) U (5; +∞).

7) (х² – 5х + 4)x2- 7x+10 ≤ 0, х ∈ [1; 2] U {5};

8) (х² – 5х + 4)x2- 7x+10 ≥ 0, х ∈ (–∞; 1] U [5; +∞) u {2}.