§ 43: 43.7 (1)

43.7 Побудуйте графік функції:

1) f(x) = x + 1x = x2+ 1x.

1. D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞).

2. f(–x) = (-x)2+ 1-x = –x2+ 1x = –f(x) – функція непарна.

3–4. f(x) ≠ 0 при жодному значенні х з області визначення.

f(x) > 0, якщо х ∈ (0; +∞); f(x) < 0, якщо х ∈ (–∞; 0).

5–6. f’(x) = 1 – 1x2 = x2- 1x2 = x-1(x+1)x2.

f’(x) = 0 при х = 1 і х = –1 – критичні точки.

x	(–∞; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
f(x)	+	0	0	не існує		0	+
f’(x)	↗	–2	↘	не визначена	↘	2	↗
		max				min

f(–1) = –1 + 1-1 = –2; f(1) + 11 = 2.

7. Вертикальна асимптота, х = 0.

lim(x + 1x) = lim x2+ 1x = lim 1+ 1x21x = 10 – не існує.

x→∞ x→∞ x→∞

Горизонтальних асимптот немає.

8. f’’(x) = 2x • x2- x2- 1 • 2xx4 = 2x3- 2x3+ 2xx4 = 2x3.

f’’(x) ≠ 0 – точок перегину немає.

f’’(х) > 0 при х > 0, отже, на проміжку (0; –∞) функція опукла вниз.

f’’(х) < 0 при х < 0, отже, на проміжку (–∞; 0) функція опукла вгору

Графік див. у відповідях.

2) f(x) = x2+ 3xx-1 = x(x+3)x-1,

1. D(f) = (–∞; 1) ∪ (1; +∞).

2. f(x) = (-x)2+ 3(-x)-x- 1 = x2- 3x-x-1; f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x).

Функція є ні парною, ні непарною.

3–4. f(x) = 0 при x = 0 i x = –З.

f(x) < 0 при х ∈ (–∞; –3) U (0; 1);

f(x) < 0 при х ∈ (–3; 0) U (1; +∞).

5–6. f’(x) = 2x+3x-1- (x2+ 3x)(x-1)2 = 2x2- 2x+3x-3- x2- 3x(x-1)2 = x2- 2x-3(x-1)2 = x+1(x-3)(x-1)2.

f’(х) = 0 при x = –1 і х = 3 – критичні точки. f(x) зростає на проміжках (–∞; –1] i [2; +∞), спадає на [–1; 1) і (1; 3].

xmax = –1; f(–1) = -1(-1+3)-1-1 = -2-2 = 1;

xmin = 3; f(3) = 3(3+3)3-1 = 182 = 9.

7. f’’(x) = 2x-2(x-1)2- x2- 2x-3 • 2(x-1)(x-1)4 = x-1(2x2- 2x-2x+2-2x2+ 4x+6)(x-1)4 = 8(x-1)(x-1)4 = 8(x-1)3.

f’(х) ≠ 0 при всіх значеннях х з області визначення функції.

f’’(х) > 0, якщо х > 1, тоді функція f(x) опукла вниз при х ∈ (1; +∞);

f’’(x) < 0, якщо x < 1, тоді функція f(x) опукла вгору при х ∈ (–∞; 1). Точок перегину немає.

8. Вертикальна асимптота х = 1. Визначимо похилі асимптоти.

k = lim x2+ 3xx(x-1) = lim x+3x-1 = lim 1+ 3x1- 1x = 11 = 1;

x→∞ x→∞ x→∞

b = lim (x2+ 3xx-1 – x) = lim x2+ 3x- x2+ xx-1 = lim 4xx-1 = lim 41- 1x = 4.

x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

Пряма у = х + 4 – похила асимптота.

Графік див. у відповідях.

3) f(x) = x3x3- 4 = x3x-2(x+2).

1. D(f) = (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; +∞).

2. f(x) = (-x)3(-x)2- 4 = x3x2- 4 = –f(x), функція непарна.

3–4. f(x) = 0 при х = 0.

f(x) > 0 на проміжках (–2; 0) і (0; +∞);

f(x) < 0 на проміжках (–∞; –2) і (0; 2).

5–6. f'(x)= 3x2x2- 4- x3 • 2x(x2- 4)2 = 3x4- 12x2- 2x4(x2- 4)2 = x4- 12x2(x2- 4)2 = x2(x2- 12)(x2- 4)2 = x2x-23(x+23(x2- 4)2.

f(х) = 0 при х = 0, x = 23 і х = –23 – критичні точки.

f’(x) не існує при х = ±2.

x	(–∞; –23)	–23	(–23; –2)	–2	(–2; 0)	0
f(x)	+	0	–	не існує	–	0
f’(x)	↗	–33	↘	не визначена	↘	0
		max		–

x	(0; 2)	2	(2; 23)	23	(23; +∞)
f(x)	–	не існує	–	0	+
f’(x)	↘	не визначена	↘	33	↗
		–		min

f(0) = 0; f(23) = (23)3(23)2- 4 = 2438 = 33;

f(–23) = (23)3(23)2- 4 = -2438 = –33.

x_max = –23; x_min = 23 – точки екстремумів.

7. f’’(x) = (x4- 12x2(x2- 4)2)’ = 4xx2- 6x3- 4- x4- 12x2 • 2x2- 4• 2x(x2- 4)4 = 4xx2- 6(x4- 4x2- 6x2+ 24- x4+ 12x2)(x2- 4)4 = 8xx2- 4(x2+12)(x2- 4)4 = 8x(x2+ 12)(x2- 4)3.

f’’(х) = 0, якщо х = 0.

f’’(x) не існує при х = ±2.

f’’(х) ≤ 0, функція опукла вгору на проміжках

(–∞; –2) і [0; 2); f’’(х) ≥ 0, функція опукла вниз на проміжках (–2; 0] і (2; +∞). х = 0 – точка перегину.

8. Вертикальні асимптоти: х = –2 і х = 2.

Визначимо похилі асимптоти.

k = lim x3x(x2- 4) = lim x2x2- 4 = lim 11- 4x2 = 1;

x→∞ x→∞ x→∞

b = lim(x3x2- 4 – x) = lim x3- x3+ 4xx2- 4 = lim 4xx2- 4 = 0.

x→∞ x→∞ x→∞

у = х – похила асимптота.

4) f(x) = x4- 8(x+1)4.

1. D(f) = (–∞; –1) ∪ (–1; +∞).

2. Область визначення функції не симетрична відносно початку координат, отже, функція ні парна, ні непарна.

3–4. f(x) = 0, x⁴ – 8 = 0; x⁴ = 8; x = ±48.

f(x) > 0, якщо x⁴ – 8 > 0; |x| = 48, х < –48 або х > 48.

f(x) < 0, якщо х – 8 < 0; |x| < 48; –48 < х < 48.

5–6. f’(x) = 4x3(x+1)4- x4- 8 • 4(x+1)3(x+1)8 = 4(x+1)3• (x3x+1- x4- 8)(x+1)8 = 4(x4+ x3- x4+ 8)(x+1)5 = 4(x3+ 8)(x+1)5 = 4x+2(x2+ 2x+4)(x+1)5.

f’(x) = 0, якщо х = –2. Це єдина критична точка, бо х² + 2х + 4 ≠ 0 на D(f).

При х = –1 похідна не існує. –1 ∈ D(f).

f’(x) ≥ 0 на проміжках (–∞; –2) і (0; +∞);

f’(x) ≤ 0 на проміжку [–2; –1).

Тоді функція f(x) зростає на проміжках (–∞; –2] і (–1; +∞).

xmax = –2; f(–2) = -2- 8-2+14 = 81 = 8.

7. Вертикальна асимптота х = –1, бо lim x4- 8(x+1)4 = ∞;

x→∞

lim x4- 8(x+1)4 = lim x4- 8(x4+ 4x3+ 6x2+ 4x+1 = 1, тому у – 1 –

x→∞ x→∞

горизонтальна асимптота.