§ 43: 43.5

43.5 Побудуйте графік функції f (x) = x² (2x – 3) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f (x) = a залежно від

значення параметра a.

f(x) = x²(2x – 3).

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = (–x)²(–2x – 3) = x²(–2x – 3); f(–x) ≠ f(x); f(–x) ≠ –f(x). Функція не є ні парною, ні непарною.

3–4. f(x) = 0 при х = 0 i х = 32 – нулі функції.

f(x) < 0 при х ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 32);

f(x) > 0 при х ∈ (32; +∞).

5–6. f’(х) = 2х(2х – 3) + x² • 2 = 4х² – 6х + 2х² = 6x² – 6x(x – 1).

f’(x) = 0 при x = 0 і х = 1 – критичні точки.

x	(–∞; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +∞)
f(x)	+	0	–	0	+
f’(x)	↗	0	↘	–1	↗
		max		min

f(0) = 0² • (2 • 0 – 3) = 0; f(1) = 1² • (2 • 1 – 3) = –1.

7. f’’(x) < 0 при x ≤ 12 – функція опукла вгору на проміжку (–∞; 12);

f’’(x) > 0 при x > 12 – функція опукла вниз на проміжку (12; +∞);

х = 12 – точка перегину.

Користуючись побудованим графіком,

встановлюємо кількість коренів рівняння

f(x) = а залежно від значення а:

якщо а > 0 або а < –1, то корінь один;

якщо 1 < а < 0, то коренів три;

якщо а = 0 i a = –1, то коренів два.