§ 43: 43.6

43.6 Побудуйте графік функції f (x) = –x² (x² – 4) і знайдіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння f (x) = a залежно від

значення параметра a.

f(x) = –x²(x² – 4).

1. D(f) = (–∞; +∞).

2. f(–x) = –(–x)²((–x)² – 4) = –x²(x² – 4) – f(x) – функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3–4. f(x) = 0 при х = 0, х = –2, х = 2 – нулі функції.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

f(x) < 0 при х ∈ (–2; 0) ∪ (0; 2).

5–6. f’(х) = – 2х(х² – 4) + (–x²) • 2х = –2х³ – 8х – 2х³ = –4х³ – 8х = –4х(х² – 2) = –4х(х – 2)(х + 2).

f’(х) = 0 при х = 0, х = ±2 – три критичні точки.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
f(x)	+	0	–	0	+	0	–
f’(x)	↗	4	↘	0	↗	4	↘
		max		min		max

f(0)= 0;

f(2) = –(2)² • ((2)² – 4) = –2 • (2 – 4) = 4;

f(–2) = f(2) = 4.

Користуючись побудованим графіком,

встановлюємо кількість коренів рівняння

f(х) = а залежно від значення а:

якщо а > 4, то коренів немає;

якщо а < 0 або а = 4, то коренів два;

якщо а = 0, то коренів три;

якщо 0 < а < 4, то коренів чотири.