§ 40: 40.14 (1)

40.14 Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) f(x) = x + 4x2; f'(x) = 1 – 8x3 = x3- 8x3 = (x-2)(x2 +2x+4)x3.

f’(x) = 0 ари x₁ = 2; f’(x) не існує при х₂ = 0.

Функція зростає на (–∞; 0) і [2; +∞); спадає на (0; 2]; x_min = 2.

Зауваження. Точка х = 0 не є критичною, оскільки не входить до області визначення функції f(x), тому в цій точці екстремуму немає.

2) f(x) = x2-3x-2; f'(x) = x2 -3'x-2-(x2 -3)(x-2)'(x-2)2 = 2xx-2-(x2 -3)(x-2)2 = 2x2-4x- x2+3(x-2)2 = x2- 4x+3(x-2)2.

f’(x) = 0 при х₁ = 3 і х₂ = 1;

f’(x) не існує при х₃ = 2 – не є критичною точкою, бо х₃ ∉ D(f).

Функція f(x) зростає на (–∞; 1] і [3; +∞); спадає на [1; 0) і (0; 3];

x_max = 1; x_min = 3.

3) f(x) = x24 + 9x2; f'(x) = 2x4 – 9•2x2 = x2 – 18x3 = x4-362x3 = (x2 -6)(x2 +6) 2x3.

f'(x) = 0 при x = ±6;

f'(x) не існує при х = 0 – не є критичною

точкою, бо в цій точці функція f(x) не визначена.

Функція зростає на [–6; 0) і [–6;+ ∞); спадає на (–∞; 6];

x_min = –6; x_max = 6.

4) f(x) = –1(x-3)2 = (-1)'(x-3)2-(-1)(x-3)2(x-3)4 = (x-3)2(x-4)4 = 1(x-3)2.

f’(x) не існує при x = 3, але точка не є критичною, оскільки

D(f) = (–∞; 3) ∪ (3; +∞).

f’(x) > 0 для всіх з D(f), тому функція f(x) зростає на (–∞; 3) і (3; +∞), точок екстремуму немає.

5) f(x) = x2x2-16;

f’(x) = x3'x2 -16-x2(x2 -16)'(x2 - 16)2 = 2xx2 -16-x2 • 2x(x2 -16)2 = 2x2-32x-2x3(x2 -16)2 = -32x(x2 -16)2.

f’(x) = 0 при х = 0 – критична точка; f’(x) не існує при х = ±4, точки 4 і –4 не є критичними, бо не належать D(f).

Функція зростає на (–∞; 4) і (4; 0]; спадає на [0; 4) і [4; +∞); точок екстремуму немає.

6) f(x) = 2x – х;

D(f) = [0; +∞); f'(x) = 1x – 1 = 1-xx.

f'(x) не існує при х = 0; f'(х) = 0 при x = 1.

Обидві точки – критичні.

Функція зростає на [0; 1]; спадає на [1; +∞); x_max = 1.