§ 4: 4.12

4.12 Нехай g – функція, обернена до функції f (x) = х³ + x-2.

1) Знайдіть g (28). 2) Розв’яжіть рівняння g (x) = 1. 3) Чи існує таке значення c, що рівняння g (x) = c має два корені?

f(х) = х³ + x-2; D(f): x – 2 ≥ 0; х ≥ 2 ⇒ D(f) = [2; +∞). f(x) – зростаюча, оскільки є сумою зростаючих функцій у = х³ та

y = x-2 ⇒ f(x) приймає своє найменше значення в x = 2. f(–2) = 8 + 0 = 8 ⇒ E(f) = [8; +∞). Оскільки g(x)т а f(x) – взаємно обернені, то D(f) = E(g) та D(g) = E(f). Також для будь–якого x₀ ∈

D(f) з рівності f(x₀) = у₀ випливає, що g(y₀) = x₀.

1) g(28) = x₀ ⇒ y₀ =28, тоді f(х0) = 28. Маємо рівняння відносно

х₀: x03 + x0- 2 = 28.

Оскільки f(x) – зростаюча, то рівняння f(x₀) = 28 має єдиний корінь, цей корінь х₀ = 3 (теорема 6.3). Тобто g(28) = 3.

Відповідь: g(28) = 3.

2) g(x) = 1 не має розв’язків, оскільки E(g) = [2; +∞).

Відповідь: не має коренів.

3) g(x) = с. Оскільки f(x) – зростає, то і g(x) теж зростає ⇒ рівняння g(x) = c може мати не більше одного кореня ⇒ c ∈ ∅.

Відповідь: с ∈ ∅.