§ 36: 36.23

36.23 Доведіть, користуючись означенням, що функція f (x) = x |x| є диференційовною в точці x₀ = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.

f(x₀) = f(0) = 0 • |0| = 0.

Якщо ∆x < 0, то x < 0 = x • (–x) = –x².

∆f∆x = fx0+ ∆x- f(x0)∆x = -(0+ ∆x)2- 0∆x = -∆x2∆x = –∆x.

Якщо ∆x > 0, то x > 0, f(x) = x • x = x².

∆f∆x = fx0+ ∆x- f(x0)∆x = (0+ ∆x)2- 0∆x = ∆x2∆x = ∆x.

Очевидно, що lim ∆f∆x = 0; f’(x₀) = f’(0) = 0.

∆x→0

Графічно це означає, що дотична до графіка функції в точці х₀ = 0 збігається з віссю Ох.