§ 36: 36.11 (1)

36.11 Користуючись означенням похідної, знайдіть f ‘(x), якщо:

1) x = x₀ + ∆x

∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = –1(x0+ ∆x)2 + 1x02 = -x02+ x02+ 2x0∆x+∆x2x02(x0+ ∆x)2 = 2x0∆x+ ∆x2x02(x02+ 2x0∆x+ ∆x2);

∆f∆x = 2x0∆x+ ∆x2∆xx04+ 2x03∆x+x02∆x2 = 2x0+ ∆xx04+ 2x03∆x+x02∆x2;

f’(x₀) = lim∆f∆x = lim2x0+ ∆xx04+ 2x03∆x+x02∆x2 = 2x0x04 = 2x03.

∆x→0 ∆x→0

Відповідь: f’(x) = 2x03.

2) x = x₀ + ∆x;

∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = (x₀ + ∆x)² + 3(x₀ + ∆x) – 2 – x02 – 3x₀ + 2 =

= x02 + 2x₀∆x + ∆x² + 3x₀ + 3∆x – 2 – x02 – 3x₀ + 2 = 2x₀∆x + ∆x²;

∆f∆x = 2x0∆x+3∆x+ ∆x2∆x = 2x₀ + 3 + ∆x;

f’(x₀) = lim∆f∆x = lim(2x₀ + 3 + ∆x) = 2x₀ + 3.

∆x→0 ∆x→0

Відповідь: f’(x) = 2x + 3.