§ 33: 33.8 (1)

33.8 Розв’яжіть нерівність:

1) sin⁵x + cos⁶x ≥ 58; (sin²x + cos²x((sin⁴x – sin²x • cos²x + cos⁴x) ≥ 58; sin⁴x + 2sin²x • cos²x + cos⁴x – 3sin²x • cos²x ≥ 58;

(sin²x + cos²x)² – 3sin²x • cos²x ≥ 58; 1 –34 • 4sin²x • cos²x ≥ 58;

–34 • sin²2x ≥ –34; sin²2x ≤ 12; 1-cos4x2 ≤ 12; cos4x ≥ 0. Нехай 4х = t,

тоді –π2 + 2πn < t < π2 + 2πn; –π2 + 2πn < 4x < π2 + 2πn, n ∈ Z; –π8 + πn2 < x < π8 + πn2, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ –(π8 + πn2; π8 + πn2), n ∈ Z.

2) sinx ≥ cosx; sinx – cosx ≥ 0; 22sinx – 22cosx ≥ 0;

–(cosx • cosπ4 – sinx • sin π4) ≥ 0; –cos(x + π4) ≥ 0; cos(x + π4) ≤ 0;

⇒ π2 + 2πn < x + π4 < 3π2 + 2πn, n ∈ Z; π4 + 2πn < x < 5π4 + 2πn,

n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (π4 + 2πn; 5π4 + 2πn), n ∈ Z.