§ 33: 33.9 (1)

33.9 Розв’яжіть нерівність:

1) 2cos²x + 3cosx – 2 < 0. Нехай cosx = t, |t| ≤ 1.

Тоді 2t² + 3t – 2 < 0; t² + 1,5t –1< 0; (t + 2)(t – 0,5)< 0 ⇒

t ∈ (–2;0,5);⇒ t ∈ [–1;0,5).

t ∈ [–1; 1];

Маємо: –1 ≤ cosx < 0,5, звідси cos x < 0,5;

⇒ x ∈ (π3 + 2πn; 5π3 + 2πn), n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (π3 + 2πn; 5π3 + 2πn), n ∈ Z.

2) tg²x + (2 – 3) tgx – 23 < 0. Нехай tgx = t, тоді:

t² + (2 – 3)t – 23 < 0;

D = (2 – 3)² + 83 = 4 – 43 + 3 + 83 = 4 + 43 + 3 = (2 + 3)²;

t₁ = -2- 3+ 2+ 32 = 232 = 3; t₂ = -2- 3- 2- 32 = –2.

Тоді нерівність набуває вигляду: (t + 2)(t – 3) < 0 ⇒ t ∈ (–2; 3).

Маємо: –2 < tgx < 3.

⇒ x ∈ (arctg2 + πn; π3 + πn), n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (arctg2 + πn; π3 + πn), n ∈ Z.

3) 2cos²(x + π6) – 3sin(π3 – x) > –1;

2cos²(x + π6) – 3cos(π2 – (π3 – x)) > –1;

2cos²(x + π6) – 3cos(x + π6) > –1.

Нехай cos(x + π6) = t, тоді: 2t² – 3t + 1 > 0; t² – 1,5t + 0,5 > 0;

(t – 1)(t – 0,5) > 0;

t ∈ (–∞; 0,5) ∪ (1; +∞);

t ∈ [–1; 1] ⇒ t ∈ [–1; 0,5).

Маємо: –1 ≤ сos(x + π6) < 0,5 звідси cos(x + π6) < 0,5.

⇒ π3 + 2πn < x + π6 < 5π3 + 2πn, n ∈ Z; π6 + 2πn < x < 3π2 +2πn, n ∈ Z;

Відповідь: х ∈ (π6 + 2πn; 3π2 + 2πn), n ∈ Z.

4) tgx ≥ 2ctgx; tgx – 2ctgx ≥ 0;

tgx – 2tg x ≥ 0; (tg2x-2)tg x ≥ 0. Нехай tgx = t, тоді t2- 2t ≥ 0.

(t² – 2) • t ≥ 0; (t – 2)(t + 2) • t ≥ 0;

t ≠ 0; t ≠ 0;

⇒ t ∈ [–2; 0) ∪ [2; +∞).

Маємо: –2 ≤ tgx < 0;

2 ≤ tgx < ∞.

1) –2 ≤ tgx < 0;

⇒ x ∈ [–arctg2 + πn; πn), n ∈ Z.

2) 2 ≤ tgx < ∞;

⇒ x ∈ [–arctg2 + πn; π2 + πn), n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ [–arctg2 + πn; πn) ∪ [–arctg2 + πn;π2 + πn), n ∈ Z.