§ 32: 32.46 (1)

32.46 Розв’яжіть рівняння:

1) tg2x + sin2x = 83ctgx;

2tgx1- tg2x + 2tgx1+ tg2x = 83tgx.

x = π2 + πk, k ∈ Z.

Розв’яжемо рівняння:

2tgx1- tg2x + 2tgx1+ tg2x = 83tgx.

Нехай tg x = t: 2t1- t2 + 2t1+ t2 = 83t;

2t1+ t2 • 3t+2t • 1- t2 • 3t-81- t2(1+ t2)3t1- t2(1+ t2) = 0;

6t² + 6t⁴ + 6t² – 6t⁴ – 8(1 – t⁴) = 0; 12t² – 8 + 8t² = 0|: 4;

t ≠ 0; t ≠ 0;

t ≠ ± 1; t ≠ ± 1;

2t⁴ + 3t⁴ – 2 = 0; (t² + ²)(t² – 12) = 0;

t ≠ 0; t ≠ 0;

t ≠ ± 1; t ≠ ± 1; ⇒ t² = 12; t = ± 22.

Маємо: tgx = ± 22; x = ± arctg22 + πn, n ∈ Z;

x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = ± arctg22 + πn, n ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

2) tg(2x – π3) = ctg4π3 + 3ctg2x;

tg2x-tgπ31+tg2x • tgπ3 = ctg(π + π3) + 3tg 2x; tg2x - 31+ 3tg2x = 33 + 3tg2x;

2x = π2 + πk, k ∈ Z; 2x = π2 + πn, n ∈ Z;

Розв’яжемо рівняння:

tg2x - 31+ 3tg2x = 33 + 3tg2x.

Нехай tg2x = t, тоді t - 31+ 3t = 33 + 3t;

3t-3t - 31+ 3t • -9(1+ 3t)1+ 3t = 0;

3t² – 33 – 3t – 3t² – 9 – 93t = 0; –133t = 9;

t ≠ –13; t ≠ –13;

t = –9133 = – 9313 • 3 = –3313;

t ≠ –13; ⇒ t = –3313.

Маємо: tg2x = 3313; 2x = –arctg3313 + πk, k ∈ Z;

2x = π2 + πn, n ∈ Z; 2x = π2 + πn, n ∈ Z;

x = –12 arctg3313 + πk, k ∈ Z;

2x = π4 + πn2, n ∈ Z.

Відповідь: x = –12 arctg3313 + πk, k ∈ Z; 2x = π4 + πn2, n ∈ Z.

3) 2tg(π4 + x) + 53 tg(π3 + x) = –7;

2(tgπ4 + tgx) 1 - tgπ4 • tgx + 53(tgπ3 + tgx) 1 - tgπ3 • tgx + 7 = 0;

x = π2 + πk, k ∈ Z;

2(1 + tgx) 1-tgx + 53 • (3 + tgx) 1 - 3tgx + 7 = 0;

x = π2 + πk, k ∈ Z;

Розв’яжемо рівняння:

2(1 + tgx) 1-tg x + 53 • (3 + tgx) 1-3tgx + 7 = 0;

Нехай tg x = t, тоді: 2(t +1) 1-t + 53 • (3 + t) 1-3t + 7 = 0;

2(t + 1)(1 – 3t) + 53 • (3 + t)(1 – t) + 7(1 – t)(1 – 3t) = 0;

t≠ 1;

t ≠ 13;

2(t – 3t² +1– 3t) +53(3 – t3 + t – t²) + 7(1– 3t + 3t²) = 0;

t≠ 1;

t ≠ 13;

23t² +2t –23t +2+15 –15t +53t–53t² +7–73t –7t +73t² = 0;

t≠ 1;

t ≠ 13;

–43t – 20t + 24 = 0; –4t(3 + 5) = –24;

t≠ 1; t≠ 1;

t ≠ 13; t ≠ 13; ⇒

⇒ t = 244(3+ 5) = 63+ 5 = 6(3- 5)3-25 = -6(3- 5)22 = 3(5- 3)11.

Маємо: tgx = 3(5- 3)11; x = arctg3(5- 3)22 +πl, l ∈ Z;

x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = arctg3(5- 3)22 +πn, n ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.