§ 32: 32.45 (1)

32.45 Розв’яжіть рівняння:

1) tg(2x + 5π3) = 2ctg2x + 13ctg13π6;

tg2x + tg 5π31-tg2x • tg 5π3 = 2tg2x + 13ctg13π6;

2x = π2 + πk, k ∈ Z.

tg2x+tg(2π- π3)1-tg2x • tg(2π- π3) = 2tg2x + 13 ctg (2π + π6);

tg 2x- 31-tg 2x • 3 = 2tg 2x + 13 • 3;

2x = π2 + πk, k ∈ Z.

Розв’яжемо рівняння:

tg2x- 31-tg2x • 3 – 2tg 2x – 33 = 0;

Нехай tg2x = t, тоді: t- 31+ 3 – 2t – 33 = 0;

3t(t – 3) – 2 • 3(1 + 3t) – 3t(1 + 3t) = 0;

t ≠ 0;

1 + 3t ≠ 0;

3t² – 33t – 6 – 63t – 3t – 3t² = 0;

t ≠ 0;

t ≠ –13;

–103t – 6 = 0; t = 6103;

t ≠ 0; t ≠ 0;

t ≠ –13; t ≠ –13;

t = –3353 • 3; t = –35 ⇒ tg 2x = –35.

Маємо: tg2x = –35; 2x – arctg 35 + πn, n ∈ Z;

2x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π4 + πk2, k ∈ Z;

x = –12arctg 35 + πn, n ∈ Z;

x = π4 + πk2, k ∈ Z.

Відповідь: x = –12arctg 35 + πn, n ∈ Z;

x = π4 + πk2, k ∈ Z.

2) сtg 11π6 = 2ctg x+3tg(x+ π6);

ctg(2π – π6) = (2tg x + 3) : tg x + tgπ61-tg x • tgπ6;

x = π2 + πn, n ∈ Z;

–3 = 2+3tg xtg x : tg x+ 331- 33 • tgx;

x = π2 + πn, n ∈ Z;

–3 = 2+3tg xtg x : 3 - 3 tgx3tgx+ 3;

x = π2 + πn, n ∈ Z;

Розв’яжемо рівняння:

2+3tg x(3- 3 tg x)tg x (3tg x+ 3) + 3 = 0. Нехай tgx = t, тоді 2+3tg x(3- 3 tg x)tg x (3tg x+ 3) + 3 = 0;

6-23t+9t-33t2+ 33t2+ 3tt(3t+ 3) = 0; 6-23t+12tt(3t+ 3) = 0;

6 – 2(3 – 6) • t = 0; t = 62(3- 6) = 33-6 = 3 • (3+ 6)3-36 = –3+ 611;

t ≠ 0; t ≠ 0;

t ≠ –33; t ≠ –33; ⇒ t = -(3+ 6)11.

Маємо: tgx = -(3+ 6)11; x = –arctg 3+ 611 + πn, n ∈ Z;

x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = –arctg 3+ 611 + πn, n ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.