§ 32: 32.41 (1)

32.41 Розв’яжіть рівняння:

1) sinx • cos = 0; cosx = 0; x = π2 + 2πn, n ∈ Z;

sinx = 0; x = πk, k ∈ Z;

sinx ≥ 0; sinx ≥ 0;

При х = π2 + 2πn, n ∈ Z: sin(π2 + 2πn) = 1 ≥ 0; при х = –π2 + 2πn,

n ∈ Z:

sin(–π2 + 2πn) = –1 ≤ 0 – не є коренем; при х = πk, k ∈ Z: sin x = 0.

Відповідь: х = π2 + πn, х = πk, k ∈ Z, n ∈ Z.

2) ctg x-3 • cosx = 0;

ctgx – 3 = 0; ctgx = 3; x = π6 + πn, n ∈ Z;

cosx = 0; cosx = 0; x = π2 + πk, k ∈ Z;

ctgx – 3 ≥ 0; ctgx ≥ 3; ctgх ≥ 3.

При x = π6 + πn, n ∈ Z сtg(π6 + πn) = 3;

при x = π2 + πk, k ∈ Z сtg(π2 + πn) = 0 – не є коренями.

3) сos x • (8 sin x + 5 – 2cos 2x) = 0;

cosx = 0; cosx = 0;

8sinx + 5 – 2cos2x = 0; 8sinx + 5 – 2(1 – 2sin²x) = 0;

cosx ≥ 0; cosx ≥ 0;

x = π2 + πn, n ∈ Z;

8sinx + 4sin²x + 3 = 0;

cosx ≥ 0.

Розв‘яжемо рівняння 8sinx + 4sin²x + 3 = 0. Нехай sinx = t,

|t| ≤ 1, тоді 4t² + 8t + 3 = 0; D₁ = 16 – 12 = 4; t₁ = -4+24 = –12;

t₁ = -4-24 = –32 ∉ [–1; 1]. Маємо: sinx = –12; x = (–1)^k • arcsin(–12) + πk, k ∈ Z; x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k ∈ Z.

x = π2 + πn, n ∈ Z;

Тоді: x = (–1)^k–1 • π6 + πk, k ∈ Z;

cosx ≥ 0;

⇒ x = π2 + πn, n ∈ Z;

x = –π6 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: x = π2 + πn, n ∈ Z; x = –π6 + 2πn, n ∈ Z.