§ 32: 32.20 (1)

32.20 Розв’яжіть рівняння:

1) sin³4x + cos³4x = 1 – 0,5sin8x;

(sin4x + cos4x)(sin²4x – sin4x • cos4x + cos²4x) = 1 – 12sin8x;

(sin4x + cos4x)(1 – 12sin8x) – (1 – 12sin8x) = 0;

(sin4x + cos4x – 1)(1 – 12sin8x) = 0;

sin4x + cos4x – 1 = 0; sin4x + cos4x = 1; sin 4x + cos 4x = 1;

sin8x = 2; sin8x = 2; x ∈ ∅;

22sin4x + 22cos4x = 1; cos4x • cosπ4sin4x • sinπ4 = 1;

cos(4x – π4) = 1; 4x – π4 = 2πn, n є Z; 4x = π4 + 2πn, n ∈ Z;

x = π16 + πn2, n ∈ Z;

Відповідь: x = π16 + πn2, n ∈ Z;

2) cos2x + sin2x = 2(cos⁴2x – sin⁴2x); cos2x + sin2x = 2(cos²2x + sin²2x)(cos²2x – sin²2x); cos2x + sin2x = 2(cos²2x – sin²2x); cos2x + sin2x – 2(cos2x – sin2x)(cos2x + sin2x) = 0;

2(cos2x + sin2x) • (12 – (cos2x – sin2x) = 0;

(cos2x + sin2x) • (22 – (cos2x – sin2x)) = 0;

1) cos2x + sin2x = 0|: cos2x ≠ 0 ⇒ tg2x = –1;

2x = –arctg1 + πn, n є Z; 2x = –π4 + πn, n є Z; x = –π8 + πn2, n є Z;

2) cos2x – sin2x = 22| • 22 ⇒ 22cos2x – 22sin2x = 12;

cos2x • cosπ4 • sinπ4 = 12; cos(2x + π4) = 12; 2x + π4 = ±arccos12 + πk,

k ∈ Z; 2x = –π4 ± π3 + πk, k ∈ Z; x = –π8 ± π6 + πk2, k ∈ Z.

Відповідь: x = –π8 + π6, n ∈ Z; x = –π8 ± π6 + πk2, k ∈ Z.