§ 32: 32.19 (1)

32.19 Розв’яжіть рівняння:

1) sin3x + sinx – sin2x = 2cos²x – 2cosx;

2sin2x • cosx – 2sinx • cosx – 2cos(cosx – 1) = 0;

2cosx(sin2x – sinx – cosx + 1) = 0;

2cosx(sin²x + cos²x + 2sinx • cosx – (sinx + cosx)) = 0;

2cosx((sinx + cosx)² – (sinx + cosx)) = 0;

2cosx • (sinx + cosx)(sinx + cosx – 1) = 0;

1) cosx = 0; х = π2 + πn, n ∈ Z;

2) sinx + cosx = 0|: cosx ≠ 0 ⇒

tgx = –1; x = arctg(–1) + πk, k є Z; x = –π4 + πk, k є Z;

3) sinx + cosx = 1; 22sinx + 22cosx = 22;

sinx • sinπ4 + cosx • cosπ4 = 22; sin(x + π4) = 22;

x + π4 = (–1)² • arcsin22 + πl, l є Z; x + π4 = (–1)¹ • π4 + πl, l є Z;

x = –π4 + (–1)¹ • π4 + πl, l є Z.

Відповідь: x = π2 + πn, n є Z; x = –π4 + πk, k є Z; x = –π4 + (–1)¹ • π4 + πl, l є Z.

2) (cosx – sinx)² – 0,5sin4x = sinx – cos4x;

cos²x + sin²x – 2sinx • cosx – sin2x • cos2x = (sin²x + cos²x) • (sin²x – cos²x);

1 – sin2x – sin2x • cos2x = –cos2x;

1 – sin2x – sin2x • cos2x + cos2x = 0;

1 – sin2x + cos2x(1 – sin2x) = 0;

(1 – sin2x)(1 + cos2x) = 0;

sin2x = 1; 2x = π2 + 2πn, n є Z; x = π4 + πn, n є Z;

cos2x = –1; 2x = π + 2πk, k є Z; x = π2 + πk, k є Z.

Відповідь: x = π4 + πn, n є Z; x = π2 + πk, k є Z.