§ 32: 32.35 (1)

32.35 Розв’яжіть рівняння:

1) sin 2x1- cos 2x⁡= 0;

sin2x = 0; 2x = πn, n ∈ Z; x = πn2, n ∈ Z;

1 – cos2x ≠ 0; 2x ≠ 2πk, k ∈ Z; x ≠ πk, k ∈ Z;

⇒ x = π2 + πl, l ∈ Z.

Відповідь: x = π2 + πl, l ∈ Z.

2) sin2x + sin x1 + cos x⁡= 0;

(sinx + 1) • sinx = 0; sinx = 0; x = πn, n ∈ Z;

cosx ≠ –1; sinx = –1; x = –π2 + 2πk, k ∈ Z;

cosx ≠ –1; x ≠ π + 2πh, h ∈ Z.

⇒ x = 2πn, n ∈ Z; x = –π2 + 2πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = –π2 + 2πk, k ∈ Z; x = 2πn, n ∈ Z.

3) 8 sinx • cos x • sin 2x-13 + 2sin 4x⁡= 0; 4sin22x - 23 + 2sin4x = 0;

sin²2x = 14; sin2x = 12; 2x = (–1)^k • π6 + πk, k ∈ Z;

sin4x ≠ –32; sin2x = –12; 2x = (–1)^l+1 • π6 + πl, l ∈ Z;

sin4x ≠ –32; 4x ≠ (–1)^h–1 • π3 + πh, h ∈ Z;

2x = (–1)^k • π6 + πk, k ∈ Z;

2x = (–1)^l+1 • π6 + πl, l ∈ Z;

2x ≠ (–1)^h–1 • π6 + πh, h ∈ Z;

⇒ 2x = π6 + πh, h ∈ Z; x = π12 + πh2, h ∈ Z.

Відповідь: x = π12 + πh2, h ∈ Z.

4) sin 2x1+ sin x = –2cosx; sin 2x+2cos x(1+ sin x)1+ sin x = 0;

2sinx • cosx + 2cosx(1 + sinx) = 0; 2cosx(1 + 2sinx) = 0;

1 + sinx ≠ 0; 1 + sinx ≠ 0;

cosx = 0; x = π2 + πn, n ∈ Z;

sinx = –12; x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k ∈ Z;

sinx ≠ –1; sinx ≠ –π2 + 2πl, l ∈ Z;

⇒ x = π2 + 2πn, n ∈ Z;

x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k ∈ Z;

Відповідь: x = π2 + 2πn, n ∈ Z; x = (–1)^k+1 • π6 + πk, k ∈ Z.