§ 31: 31.3 (1)

31.3 Розв’яжіть рівняння:

1) 2(1 – cos²x) + 7cosx + 2 = 0; 2 – 2cos²x + 7cosx + 2 = 0;

–2cos²x + 7cosx + 4 = 0.

Заміна: cosx = t; –2t² + 7t + 4 = 0|: (–1); 2t² – 7t – 4 = 0;

D = (–7)² – 4 • 2 • (–4) = 81; D = 9; t₁ = 7+92 • 2 = 4; t₂ = 7-92 • 2 = –12.

Обернена заміна: cosx = 4; коренів немає;

cosx = –12; x = ± (π – arccos12) + 2πn, n ∈ Z; x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

2) 2cosx – (2cos²x – 1) – cos²x = 0; 2cosx – 2cos²x + 1 – cos²x = 0;

–3cos²x + 2cosx + 1 = 0.

Заміна: cosx = t; –3t² + 2t + 1 = 0|: (–1); 3t² – 2t – 1 = 0;

D = (–1)² – 4 • 3 • (–1) = 4 + 12 = 16; D = 4; t₁ = 2+42 • 3 = 1;

t₂ = 2-42 • 3 = –13.

Обернена заміна: cosx = 1; x = 2πn, n ∈ Z;

cosx = –13; x = ± (π – arccos13) + 2πk, k ∈ Z; x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: 2πn; ± (π – arccos13) + 2πk, n, k ∈ Z;.

3) 2cos²x3 – 1 – 5cosx3 – 2 = 0. Заміна: cosx3 = t; 2t² – 5t – 3 = 0;

D = (–5)² – 4 • 2 • (–3) = 49; D = 7; t₁ = 5+72 • 2 = 3; t₂ = 5-72 • 2 = –12.

Обернена заміна: cosx3 = 3; коренів немає;

cosx3 = –12; x3 = ± (π – arccos12) + 2πn, n ∈ Z; x3 = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z;

x = ± 2πn + 6πn, n ∈ Z.

4) 1 – 2sin²x(1 – sin2x) – 2sinx = 0;

1 – 2sin²x – 1 + sin²x – 2sinx = 0;

–sin² x – 2sinx = 0;

Заміна: sinx = t; –t² – 2t = 0; –t(t + 2) = 0; t₁ = 0 або t₂ = –2.

Обернена заміна:

sinx = 0; x = πn, n ∈ Z;

sinx = –2; коренів немає.

Відповідь: πn, n ∈ Z.

5) 8 • 1-сos6x2 + 4(1 – cos²6x) – 5 = 0;

–4cos²6x – 4cos6x + 3 = 0.

Заміна: cos6x = t; 4t² + 4t – 3 = 0;

D = 4² – 4 • 4 • (–3) = 64; D = 8; t₁ = -4-82 • 4 = –32; t₂ = -4+82 • 4 = 12.

Обернена заміна:

cos6x = –32; коренів немає;

cos6x = 12; 6x = ± arccos12 + 2πn, n ∈ Z; 6x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z;

x = ± π18 + πn3, n ∈ Z.

Відповідь: ± π18 + πn3, n ∈ Z.

6) 4tg5x + 3tg5x – 7 = 0; 5x ≠ πn2, n ∈ Z; x ≠ πn10, n ∈ Z.

Заміна: tg5x = t; 4t + 3t – 7 = 0; 4t2-7t+3t = 0; 4t² – 7t + 3 = 0,

t ≠ 0;

D = (–7)² – 4 • 4 • 3 = 1; D = 1; t₁ = 7+12 • 4 = 1; t₂ = 7-12 • 4 = 34.

Обернена заміна:

tg5x = 1; 5x = π4πn, n ∈ Z; x = π20 + πn5, n ∈ Z;

tg5x = 34; 5x = arctg34πk, k ∈ Z; x = 15arctg34 + πk5, k ∈ Z;

Відповідь: π20 + πn5; 15arctg34 + πk5, n, k ∈ Z.

7) 1 + ctg²x = ctgx + 3; ctg²x – ctgx – 2 = 0.

Заміна: ctgx = t; t² – t – 2 = 0; t₁ = 2; t₂ = –1.

Обернена заміна:

ctgx = 2; x = arcctg2 + πn, n ∈ Z;

ctgx = –1; x = –π4 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: arcctg2 + πn; –π4 + πk, n, k ∈ Z.

8) 2sin2xcos2x + 4cos²x – 7 = 0; 2(1- cos2x)cos2x + 4 cos²x – 7 = 0.

Заміна: cos²x = t; 2-2tt + 4t – 7 = 0; 2-2t+4t2-7tt = 0;

4t² – 9t + 2 = 0,

t ≠ 0;

D = (–9)² – 4 • 4 • 2 = 49; D = 7; t₁ = 9+72 • 4 = 3; t₂ = 9-72 • 4 = 14.

Обернена заміна:

cos²x = 2. cos x = –2 або cosx = 2; коренів немає;

cos²x = 14; cos x = –12, або cosx = 12; x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z, або

х = ± π3 + 2πk, k ∈ Z.

Після об'єднання двох серій коренів одержуємо ± π3 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: ± π3 + πn, n ∈ Z.