§ 31: 31.1

31.1 Розв’яжіть рівняння:

1) 3sinx + cosx = 0|: cos x; 3tgx + 1 = 0; tgx = –13; x = –π6 + πn, n ∈ Z;

2) 4cos2x – sin2x = 0|: cos2x; 4 – tg2x = 0; tg2x = 4; 2x = arctg4 + πn, n ∈ Z; x = 12arctg4 + πn2, n ∈ Z;

3) sin²x – 5sinxcos x + 4cos²x = 0|: cos²x; tg²x – 5tgx + 4 = 0.

Заміна: tgx = t; t² – 5t + 4 = 0; t₁ = 1; t₂ = 4.

Обернена заміна:

tgx = 1; x = arctg1 + πn, n ∈ Z; x = π4 + πn, n ∈ Z;

tgx = 4; x = arctg4 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: π4 πn; arctg 4 + πk, n, k ∈ Z.

4) sin²x – 23sinxcosx + cos²x = 0|: cos²x; 3tg²x – 23tgx + 1= = 0.

Заміна: tgx = t; 3t² – 23t + 1 = 0; D = (–23)² – 4 • 3 • 1 = 0;

t = 232 •3 = 33; tgx = 33; x = arctg33 + πn, n ∈ Z; x = π6 + πn, n ∈ Z.