§ 31: 31.2 (1-3)

31.2 Розв’яжіть рівняння:

1) sinx – 3cosx = 0|: cosx; tgx – 3 = 0; tgx = 3; x = π2 + πn,

n ∈ Z;

2) 2sinx + cosx = 0| : cos x; 2tgx + 1 = 0; tgx = –12; x = –arctg12 + πn, n ∈ Z;

3) sin²x – 5sinxcos x + 6cos²x = 0|: cos²x; tg²x – 5tgx + 6 = 0.

Заміна: tgx = t; t² – 5t + 6 = 0; t₁ = 2; t₁ = 3.

Обернена заміна:

tgx = 2; x = arctg2 + πn, n ∈ Z;

tgx = 3; x = arctg3 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: arctg2 + πn, n ∈ Z; arctg3 + πk, k ∈ Z.

4) 4sin²x – 3sinxcosx – cos²x = 0|: cosx4tg²x – 3tgx – 1 = 0.

Заміна: tgx = 1; 4t² – 3t – 1 = 0;

D = (–3)² – 4 • 4 • (–1) = 25; D = 5; t₁ = 3+52 • 4 = 1; t₂ = 3-52 • 4 = –14.

Обернена заміна:

tgx = 1; x = π4 + πn, n ∈ Z;

tgx = –14; x = –arctg14 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: π4 + πn; –arctg14 + πk, n, k ∈ Z.