§ 26: 26.9 (1)

26.9 Доведіть тотожність:

1) ctg6α – ctg4α + tg2α = –ctg6α • ctg4α • tg2α.

Л. ч. = ctg6α – ctg4α + tg2α = sin(4α - 6α)sin4α • sin6α + tg2α = tg2α – sin2αsin4α •sin6α = tg2α – sin2α2sin2α • cos2α • sin6α = –tg2α – tg2α2sin2α • si6α = tg2α • (1 – 12sin2α • sin6α) = tg2α • 2sin2α • sin6α-12sin2α • sin6α = tg2α • 1sin6α • 2sin2α • sin6α-1 • cos2α2sin2α4cos2α = tg2αsin6α • sin4α • (2sin2α • sin6α – 1) • cos2α = tg2αsin6α • sin4α • (2sin2α • (3sin2α4sin³2α(–1) • cos2α = tg2α • cos2αsin6α • sin4α • (6sin²2α – 8sin⁴2α – 1) = tg2α • cos2αsin6α • sin4α • (6sin²2α – 8sin⁴2α – sin²2α – cos²2α) = tg2α • cos2αsin6α • sin4α • (5sin²2α – 8sin⁴2α – cos²2α) = tg2α • cos2αsin6α • sin4α • (5(1 – cos²2α) – 8 • (1 – cos²2α)² – cos²2α) = tg2α • cos2αsin6α4sin4α • (5 – 5cos²α – 8(1 – 2cos²2α + cos⁴2α) – cos²2α = tg2α • cos2αsin4α • sin6α • (5 – 6cos²2α – 8 + 16cos²2α – 8 cos⁴2α) = tg2α • cos2αsin4α • sin6α (–3 + 10cos²2α – 8cos⁴2α) = -tg2α • cos2αsin4α • sin6α (2cos²2α – 1) • (4cos²2α – 3) = -tg2αsin4α • sin6α • cos4α • (4cos⁴2α – 3cos2α) = -tg2α • cos4α • cos6αsin4α • sin6α = –tg2α • ctg4α • ctg6α = П. ч. Тотожність доведена.

2) 1tg3α+tgα – 1ctg3α+ctgα = ctg4α.

Л. ч. = 1tg 3α+tgα – 1ctg3α+ctgα = cos3α • cosαsin4α – sin3α • sinαsin4α = cos3α • cosα - sinα • sinαsin4α = cos4αsin4α = ctg4α = П.ч. Тотожність доведена.

3) tgα + ctgα + tg3α + ctg3α = 8cos2αsin6α.

Л. ч. = tgα + tg3α ctgα + ctg3α = sin4αcosα • cos3α + sin4αsinα • sin3α = sin4α (sinα • sin3α+cosα • cos3αsinα • sin3α • cosα • cos3α) = sin4α • 2 • 22sinα • cosα • 2sin3α • cos3α • cos2α = 4sin4α • cos2α sin2α • sin6α = 8sin2α • cos2α • cos2αsin2α • sin6α = 8cos22αsin6α = П. ч. Тотожність доведена.