§ 11: 11.29 (1)

11.29 Доведіть, що значення виразу є раціональним числом:

1) 37+52 + 37-52. Нехай 37+52 + 37-52 = х.

Тоді (37+52 + 37-52)³ = х³, 7 + 52 + • 3(7+52)2(7-52) + 337+52 (7-52)2 + 7 – 52 = х³;

14 + 3 • (–1) • (37+52 + 37-52) = х³,

14 – 3x = x³, x³ + 3x – 14 = 0, x² – 2x²+ 2x² – 4x + 7x – 14 = 0, x²(x – 2) + 2x(x – 2) + 7(x – 2) = 0, (x – 2)(x² + 2x + 7) = 0, x = 2 або x² + 2x + 7 = 0.

Рівняння х² + 2х + 7 = 0 не має коренів, бо D4 = 1 – 7 = –6 < 0.

Отже, 37+52 + 37-52 = 2. Число 2 – раціональне число.

2) 363+10 – 363- 10. Нехай 363+ 10 – 363- 10 = х.

(363+ 10 – 363-10)³ = х³, 63 + 10 - 3(63+10)2(363-10) + 3363+10(63-10)2 –

– (63 – 10) = х³, 20 – 3 • 2363+10 + 3 • 2363+10 = х³,

20 – 6(363+10 – 363-10) = х³, x³ + 6x – 20 = 0, x³ – 2x² + 2x² – 4x + 10x – 20 = 0, x²(x – 2) + 2x(x – 2) + 10(x – 2) = 0, (x – 2)(x² + 2x + 10) = 0, x – 2 = 0, x = 2 або x² + 2x + 10 = 0.

Рівняння х² + 2х + 10 = 0 не має коренів, бо D4 = 1 – 10 = –9 < 0.

Отже, 363+ 10 = 363- 10 = 2. Число 2 – раціональне число.