Відповіді до § 6 - 12: 8.38-8.39

8.38. Які із запропонованих виразів є додатними для всіх значень

змінної, а які – невід’ємними:

Додатними є вирази: (x – З)² + 1; (x + 7)² + 11.

Невід’ємними є вирази: x²; (x + 5)².

8.39. (Українська математична олімпіада, 1962 р.). Знайдіть значення виразу a³ + b³ + 3(a³b + ab³) + 6(a³b² + a²b³), де a і b – корені рівняння x² – x + q = 0.

За теоремою Вієта маємо: а + b = 1, аb = q.

Спростимо вираз: а³ + b³ + 3(а³b + аb³) + 6(a³b³ + а²b^З) = (а + b) • (а² – аb + b²) + 3аb(а² + b²) + 6а²b²(а + b) = (а + b)((а + b)² – 3аb) + 3((а + b)² – 2аb) + 6а²b²(а + b) = 1 • (1 – Зq) + 3q(1 – 2q) + 6q² = 1 – 3q + Зq – 6q² + 6q² = 1.