Відповіді до § 6 - 12: 8.26

8.26. Доведіть нерівність:

1) (x³ + y)(x + y³) > 4х²у², якщо х $\ge$ 0, у $\ge$ 0.

Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

($\frac{x^3+y}{2}$) • ($\frac{x+y^3}{2}$) $\ge$ $\sqrt{x^{3}y}$ • $\sqrt{{\mathrm{xy}}^3}$;

($\frac{x^3+y}{2}$) • ($\frac{{x+y}^3}{2}$) $\ge$ $\sqrt{x^4{y}^4}$;

(x³ + y)(x + y³) $\ge$ $\sqrt{x^4{y}^4}$;

(x³ + y)(x + y³) $\ge$ 4x²y², що й треба було довести.

2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

($\frac{m+6}{2}$) • ($\frac{n+3}{2}$) • ($\frac{p+2}{2}$) $\ge$ $\sqrt{6m•3n•2p}$;

($\frac{m+6}{2}$) • ($\frac{n+3}{2}$) • ($\frac{p+2}{2}$) $\ge$ $\sqrt{36\mathrm{mnp}}$;

(m + 6)(n + 3)(p + 2) $\ge$ 6 • 8$\sqrt{\mathrm{mnp}}$;

(m + 6)(n + 3)(p + 2) $\ge$ 48$\sqrt{\mathrm{mnp}}$, що й треба було довести.

3) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:

($\frac{a+1}{2}$) • ($\frac{b+1}{2}$) • ($\frac{c+1}{2}$) $\ge$ $\sqrt{a•b•c}$.

Враховуючи що abc = 16, маємо:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) $\ge$ 8$\sqrt{16}$;

(a + 1)(b + 1)(c + 1) $\ge$ 32, що й треба було довести.