Відповіді до § 13 - 17: 14.34

14.34. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на 3 см менша від основи.

Нехай ∆АВС — даний рівнобедрений трикутник, ВМ ⊥ АС. О — центр вписаного кола, О ∈ ВМ; ВО : ОМ = 5 : 3.

Проведемо ОК ⊥ ВС. ОМ = ОК = r.

∆ВОК~ ∆ВСМ (прямокутні, ∠В — спільний). Тоді $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BC}}$ = $\frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{MC}}$ або $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OK}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MC}}$.

Так як OK = OM, то $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OM}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MC}}$ або $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OM}}$ = $\frac{5}{3}$.

Нехай АС = x, тоді МС = $\frac{1}{2}$х, a ВС = х – 3.

Звідси $\frac{x-3}{\frac{1}{2}x}$ = $\frac{5}{3}$; Зх – 9 = 2,5x; 0,5x = 9; x = 18.

Отже, АС = 18 (см), АВ = ВС = 18 – З = 15 (см).

Р = 18 + 15 + 15 = 48 (см).