Вправи для повторення розділу 5: 19

19. Для медіан трикутника m₁, m₂, m₃ справджується рівність

$m_1^2$ + $m_2^2$ = 5$m_3^2$. Доведіть, що трикутник прямокутний.

За доведеним у №18 випливає, що a² + b² + c² = $\frac{4}{3}$($m_1^2$ + $m_2^2$ + $m_3^2$).

За умовою $m_1^2$ + $m_2^2$ = 5$m_3^2$, за теоремою Піфагора a² + b² = c², тоді

a² + b² + c² = $\frac{4•6m_3^2}{3}$; 8$m_3^2$ = c² + c²; 8$m_3^2$ = 2c²;

c² = 4$m_3^2$; c = 2m₃; m₃ = $\frac{1}{2}$c.

Медіана дорівнює половині гіпотенузи в прямокутному трикутнику.