ПОВТОРЮЄМО ГЕОМЕТРІЮ ЗА 8 КЛАС: 104

104. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

1) AK = 4 см; KB = 6 см. 2) За властивістю дотичних маємо AM = AK = 4 см; BL = BK = 6 см. 3) Позначимо CM = CL = х см. 4) AB2 = AC2 + CB2; 102 = (4 + х)2 + (6 + х)2; 100 = 16 + 8х + х2 + 36 + 12х + х2;

2x² + 20x – 48 = 0; x² + 10х – 24 = 0;

D = 10² – 4 • 1 • (–24) = 196 = 14²;

x₁ = $\frac{10+14}{2}$ = 2 (см); x₂ = $\frac{-15-14}{2}$ < 0 – не задовольняє умову.

5) Отже, AC = х + 4 = 2 + 4 = 6 (см); BC = 2 + 6 = 8 (см).

6) S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ • АС • ВС = $\frac{1}{2}$ • 6 • 8 = 24 (см²).

Відповідь: 24 см².