Відповіді на вправи § 1 - 5: 5.44

5.44. (Київська міська математична олімпіада, 1990 р.) Бісектриси

AA₁ і BB₁ трикутника ABC перетинаються в точці O. Доведіть,

що коли кут C дорівнює 60°, то OA₁ = OB₁.

Дано: $∆$АВС; $\angle$С = 60$°$; АА₁, ВВ₁ – бісектриси. АА₁ Х ВВ₁ = 0.

Довести: ОА₁ = ОВ₁

Доведення

$\angle$A + $\angle$B + $\angle$C = 180$°$;

$\angle$A + $\angle$B = 180$°$ – $\angle$C = 180$°$ – 60$°$ = 120$°$.

$∆$AOB:

$\angle$OAB + $\angle$OBA = $\frac{1}{2}\angle$A + $\frac{1}{2}\angle$B = $\frac{1}{2}$($\angle$A + $\angle$B) = $\frac{1}{2}$ • 120$°$ = 60$°$.

$\angle$AOB = 180$°$ – ($\angle$OAB + $\angle$OBA) = 180$°$ – 60$°$ = 120$°$.

$\angle$AOB₁ = 180$°$ – $\angle$AOB = 180$°$ – 120$°$ = 60$°$;

$\angle$BOA₁ = 180$°$ – $\angle$AOB = 180$°$ – 120$°$ = 60$°$.

В $∆$АОВ проведемо бісектрису ОК.

$\angle$AOK = $\angle$BOK = 120$°$ : 2 = 60$°$.

Отже, $\angle$AOB₁ = $\angle$AOK = $\angle$BOK = $\angle$BOA₁ = 60$°$.

$∆$AOB₁ i $∆$AOK:

1) $\angle$B₁AO = $\angle$OAK – за умовою;

2) $\angle$АОВ₁ = $\angle$АОК = 60$°$ – за доведеним

3) АО – спільна

Отже, $∆$АОВ₁ = $∆$АОК за стороною і двома прилеглими кутами.

Тому ОВ₁ = ОК як відповідні сторони рівних трикутників.

$∆$ВОА₁ і $∆$ВОК:

1) $\angle$ОВА₁ = $\angle$ОВК – за умовою

2) $\angle$ВОА₁ = $\angle$ВОК = 60$°$ – за доведеним

3) ВО – спільна

Отже $∆$ВОА₁ = $∆$ВОК за стороною прилеглими кутами.

Тому ОА₁ = ОК як відповідні сторони рівних трикутників.

ОВ₁ = ОК; ОА₁ = ОК ОА₁ = ОВ₁.