Відповіді на вправи § 18 - 24: 24.22 (1)

24.22. Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх

центра під кутами 90° і 60°. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює $\sqrt{3}$ + 1. Скільки випадків слід розглянути?

І випадок. Нехай r — радіус одного, а R — радіус другого кола. За умовою ∠АО₁В = 90°, ∠AO₂B = 60°, O₁O₂ = $\sqrt{3}$ + 1.

З ∆АО₁В АВ — r$\sqrt{2}$. О₁Е = $\frac{\mathrm{AB}}{2}$, O₁E = r$\frac{\sqrt{2}}{2}$, оскільки ∆АО₁В — прямокутний і рівнобедрений, і O₁E — його висота, медіана і бісектриса, О₁Е дорівнює половині гіпотенузи АВ.

∆АВО₂ – рівносторонній (АО₂ = АО₂ = R, $\angle$AO₂B = 60°). AB = R, значить, R = 2O₁E = 2 • r • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = r$\sqrt{2}$.

З ∆AEO₂ EO₂ = AO₂ • cos AO₂E = R cos 30° = $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{r\sqrt{2}•\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$.

O₁O₂ = O₁E + O₂E = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$ + $\frac{r\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$.

За умовою $\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$ = $\sqrt{3}$ + 1;

r = $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ = $\frac{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{3}•\sqrt{6}-\sqrt{3}•\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2}$. R = r$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ • $\sqrt{2}$ = 2.

Відповідь: $\sqrt{2}$ і 2.

ІІ випадок. Нехай r і R відповідно радіуси першого і другого кола. За умовою $\angle$AO₁B = 90°, $\angle$AO₂B = 60°, O₁O₂ = $\sqrt{3}$ + 1.

∆AO₁B – прямокутний і рівнобедрений, АВ = АО₁ : sin 45° = r : $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = r$\sqrt{2}$.

AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{r\sqrt{2}}{2}$. O₁E – висота і медіана, проведена з вершини прямокутного кута, тоді О₁Е = $\frac{1}{2}$АВ = $\frac{r\sqrt{2}}{2}$.

∆АO₂В — рівнобедрений, $\angle$AO₂B = 60°, значить,

∆АO₂В — рівносторонній, АO₂ = АВ, тобто R = r$\sqrt{2}$.

O₂Е — бісектриса кута АO₂В.

З ∆АO₂Е ($\angle$АO₂Е = 30°)

O₂E = AO₂ • cos 30° = R • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{r\sqrt{2}•\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$.

O₁O₂ = O₂E – O₁E. Тоді $\sqrt{3}$ + 1 = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$ – $\frac{r\sqrt{2}}{2}$; 2($\sqrt{3}$ + 1) = r($\sqrt{6}$ – $\sqrt{2}$);

r = $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ = $\frac{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{3}•\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ = 2$\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$. R = r$\sqrt{2}$ = (2$\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$) 4 + 2$\sqrt{3}$.

Відповідь: 2$\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$; 4 + 2$\sqrt{3}$.