Вправи: 852

852. Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в нього квадрата є величиною сталою. Знайдіть цю величину, якщо радіус кола дорівнює R.

АВСD — квадрат, вписаний в коло радіуса R.

Р — довільна точки кола, яку з’єднано відріз­

ками з вершинами квадрата. Розглянемо три­

кутники, які при цьому утворилися.

У ∆ВРD ∠Р = 90° як вписаний, що спирається на діаметр. Тоді за теоремою Піфагора

РВ² + РD² = ВD². Аналогічно у ∆РАС ∠Р = 90°

і РА² + РС² = АС². Додамо почленно отримані

рівності: РВ² + РD² + РА² + РС² = АС² + ВD².

Але АС² + ВD² = АВ² + ВС² + СD² + АD², тобто АС² + ВD² = 4АВ².

Тоді РВ² + РD² + РА² + РС² = 4АВ²: сума квадратів відстаней від точки Р до вершин квадрата не залежить від вибору точки Р.

Оскільки АВ = R2, то 4АВ² = 4 • (R2)² = 8R². Відповідь: 8R².