Вправи: 435

435. Чи лежать точки А (–2; 3), B(0; 4) і С(8; 8) на одній прямій?

|AB| = (0-2)2+ (4-3)2 = 5;

|BC| = (8-0)2+ (8-4)2 = 64+16 = 80 = 45;

|AC| = (8--2)2+(8-3)2 = 125 = 55.

Отже, А, В, С не лежать на одній прямій.

В лежить між А і С.

Продовжимо сторону АD і на продовженні відкладемо DN = ВС. Розглянемо ∆ABN: КL — середня лінія ∆АВN, бо проходить через К —середину АВ і дорівнює

половині сторони АN, тому ВL = LN і ВN проходить через L.

Тоді ∆ВLС = ∆NLD (ВL = NL, СL = DL, ∠ВLС = ∠NLC (вертикальні)). З рівності трикутників: ∠NDL = ∠LСВ, а ці кути — внутрішні різносторонні при прямих ВС і АN та січній СD, тому ВС ∥ АN або

ВС ∥ АD.

Домашня самостійна робота № 2

1. Які координати у вектора c?

В. c (–2 + 4; 5 + 1) або c (2; 6).

2. Які координати у вектора m?

Б. m (5 – 2; –1 – 3) або m (3; –4).

3. Чому дорівнює скалярний добуток векторів a (2; –5) і b (1; –2)?

Г. a • b = 2 • 1 + (–5) • (–2) = 2 + 10 = 12.

4. Знайдіть модуль вектора AB, якщо A(–4; 6), B(0; 9).

А. |AB| = (0--4)2+ (9-6)2 = 5.

5. Укажіть вектор, що є сумою векторів c і d, зображених на малюнку 89.

В.

6. Знайдіть координати вектора c = Зa – b, якщо a (–2; 4), b (3; 7).

Г. Зa – b = 3 • (-2;4) – (3;7) = (-6;12) – (3;7) = (-9; 5).

7. Дано вектори a (x; –2) і b (6; 12). При якому значенні х вектори a і b колінеарні?

Б. x6 = -212; x = –1.

8. Дано вектори c (3; –8 ) і d (12; y). При якому значенні y вектори

c і d перпендикулярні?

Г. c • d = 0 або 3 • 12 + 8у = 0; 8у = –36; у = –4,5.

9. Знайдіть ∠(a, b).

Г. cos ∠(a; b) = a • ba •|b| = -6+0(-2)2+ 02 • 32+ (-3)2 = -62 •32 = –12 –

– 22 • ∠(a; b) = 135°.

10. Модуль вектора p (x; y) дорівнює 5. Знайдіть координати

вектора p, якщо координата x цього вектора на 1 менша від координати y.

10. Б. Нехай p (х; х + 1), тоді х² + (х + 1)² = 25; x² + х² + 2х + 1 =

= 25; 2x² + 2х – 24 = 0; х² + х – 12 = 0; х₁ = –4; х₂ = 3. Отже,

p (–4; –3) або p (3; 4).

11. Чотирикутник ABCD з вершинами в точках А(7; 15), B(5; 9),

С(7; 3), D(9; 9) є...

В. AB (–2; –6), DC (–2; –6).

АВСD — паралелограм.

|AC| = (7-4)2+ (3-15)2 = 12.

BD = 42+ 02 = 4. АВСD не є прямокутником чи квадратом.

|AB|= (-2)2+ (-6)2 = 40 = 210.

|BC| = (7-5)2+ (3-9)2 = 40 = 210.

Сусідні сторони паралелограма рівні, діагоналі — нерівні. Отже, АВСD — ромб.

12. Знайти: |2a – b|.

А. |2a – b|² = (2a – b)(2a – b) = 4a² – 4ab + b² = 4 • (22)² – 4 •

• 22 • 1 • соа 45° + 1² = 82 – 82 • 22 + 1 = 25.

Вправи для перевірки знань № 2

до §§ 6 – 10

1. Позначте в зошиті точки A, K і L, що не лежать на одній прямій. Накресліть вектори AK і AL.

2. Дано вектори a (–2; 4) і b (7; 1). Знайдіть координати вектора:

1) c = a (–2; 4) + b (7; 1) = (5;5);

2) d = a (–2; 4) – b (7; 1) = (-9;3).

3. Знайдіть скалярний добуток векторів а (4; –7) і b(2; 1).

a (4; –7) • b(2; 1) = 4 • 2 – 7 • 1 = 1.

4. Знайдіть координати вектора AB та його модуль, якщо А(–2; 4), B(2; 1).

AB (4; –3); |AB| = 42+ (-3)2 = 5.

5. Знайдіть координати вектора p = Зm – 5n.

p = 3 • (-1;4) – 5(4;5) = (-3;12) – (20;25) = (-23; -13)

6. Побудуйте вектори:

7. При якому значенні х вектора a і b: 1) колінеарні;

2) перпендикулярні?

1) x5 = -210; при х = –1 a ∥ b;

2) x • 5 – 2 • 10 = 0; при х = 4 a ⊥ b.

8. Знайдіть кут між векторами a і b.

cos ∠(a; b) = a • ba•|b| = 0+302+ (-3)2 • 12+ (-1)2 = 33 • 2 = 12;

∠(a; b) = 45°.

9. Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами

в точках А(4; 8), B(10; 10), С(16; 8), D(10; 6) – ромб.

AB (6; 2); DC (6; 2); AB = DC. Отже, АBСD — паралелограм.

AC = (12; 0); BD = (0; –4);

AC • BD = 12 • 0 + 0 • (–4) = 0. |AC| = 12;

|BD|=4; |AC| ≠ |BD|.

У паралелограма АBСD діагоналі нерівні і перпендикулярні. Отже, АВСD — ромб.

10. Доведіть, що точки А(5; –7), B(6; –9) і С(3; –3) лежать на одній прямій.

AB (1; –2); BC = (–3; 6); AC = (–2; 4);

|AB| = 12+ (-2)2 = 5;

|BC| = (-3)2+ 62 = 45 = З5;

|AC| = (-2)2+ 42 = 20 = 25.

|BC|= |AB |+|AC|. Отже, А ,В,С лежать на одній прямій, причому

т. А — між точками В і С.

11. Знайдіть |4a – Зb|.

|4a – Зb|² = 16a² – 24ab + 9b² = 16 • 6² – 24 • 6 • 3 cos 30° + 9 •

• (3)² = 16 • 36 – 24 • 3 + 9 • 3 = 576 – 216 + 27 = 387; |4a – 3b| =

= 387 = 343.