Вправи: 1191

1191. Складіть рівняння образу кривої х² – 4х + у² = 0 при

повороті навколо початку координат на кут 60°:

1) за годинниковою стрілкою;

2) проти годинникової стрілки.

x² – 4x + y² = 0; x² – 5x + 4 – 4 + y² =

= 0; (x – 2)² + y² = 4 – це коло з центром Р(2; 0) і R = 2.

При повороті за годинниковою стрілкою точка Р перейде у точку В(х'; у'), проти годинникової стрілки — у точку А(х; у). Розглянемо другий випадок. ОА = ОР =

= R, ∠АОР = 60°, тоді точка А належить даному колу, ∆АОР — рівносторонній. Проведемо АК ⊥ ОР. АК — висота і медіана ∆АОР. ОК = 12ОР = 1, х = 1. АК = у = ОА sin 60° =

= 2 • 32 = 3. Отже, А (1; 3). Тоді образ кола: (x – 1)² +

+ (у – 3)² = 4.

Точки А і В симетричні відносно осі абсцис, тому B(1; –3). Тоді рівняння образу: (х – 1)² + (у + 3)² = 4.

Відповідь: 1) (х – 1)² + (у + 3)² =4; 2) (х – 1)² + (у – 3)² = 4.