Вправи: 1180

1180. У круг радіуса R вписано три круги одного й того самого радіуса так, що кожен з них дотикається до двох інших (мал. 215).

Обчисліть площу зафарбованої фігури.

Розглянемо ∆O₁O₂O₃. Він рівносторонній, O₁O₂ = O₂O₃ = O₁O₃ = r.

Тоді S_∆O1O2O3 = (2r)234 = r²3. Площа зафарбованої фігури дорівнює різниці площі трикутника і суми площ трьох секторів, які він відтинає від кожного вписаного круга. Їх площа S₁ = 3 • πr2360 • 60 = πr22.

Тоді шукана площа

S = r²3 – πr22 = r²(3 – π2).

Знайдемо r з ∆ОКО₃. ∠О₂ОО₃ = 360°3 = 120°. Врівнобедреному трикутнику О₂ОО₃ ОО₃ = R – r, OK – медіана і бісектриса, тому

∠О₃ОК = 120° : 2 = 60°.

З ∆ОКО3 sin 60° = O3KOO3; 32 = rR-r; R3 – r3 = 2r; R3 = 2r + r3;

R3 = r(2 + 3);

r = R32+ 3 • 2- 32- 3 = R(23-3)4-3 = 23 – 3.

Відповідь: S = r²(3 – π2), де r = R(23 – 3).